Olá,
dandi Escreveu:
Com apenas uma simplificação vc conseguiu achar o limite?
Bom, com o tempo vai-se aprendendo alguns macetes (ou algebrismos!) ... mas Ok, vamos radicalizar!
dandi Escreveu:
lim (√1+x - √1-x)/x
x->0
fraol Escreveu:
Sugestão: Multiplique em cima e em baixo da expressão do limite pelo conjugado do numerador, isto é, multiplique por
\(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\)
(aliás esse é um macete recorrente,, guarde-o na sua caixa de ferramentas ... )
\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \cdot \left( \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right )\)
Em cima temos um produto notável: a diferença de quadrados. Então
\(= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2-(\sqrt{1-x})^2}{x \cdot {\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )}\)
No numerador, cancelamos os radicais com o 2 (quadrado) e fazendo as contas ficamos com \(2x\) que podemos simplificar com o \(x\) do denominador (afinal \({x\rightarrow 0}\) mas não é zero e a divisão é possível). Dessa forma o limite se reduz a:
\(= \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\)
E quando \({x \rightarrow 0}\) o denominador tende a 2 e portanto o limite é igual a \(1\).
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