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Mostre que se \(lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\) e g(x) é uma função limitada, então \(lim_{x\to 0}(f(x)- g(x)\,) = 0\).

Boa tarde. Não sei se se pode fazer assim:
\(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\Leftrightarrow \lim_{x \to 0}f(x)=1g(x)\Leftrightarrow \lim_{x \to 0}f(x)=g(x)\)
Então:
\(\lim_{x \to 0}f(x)-\lim_{x \to 0}g(x)=g(x)-\lim_{x \to 0}g(x)=0\)

Acho que me expressei mal. O que queria dizer é "Mostre que se \(lim_{x \to 0}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right )=1\) e g(x) (...)"

Caro Diogo

não se esqueça que pelas definições de limite \(\lim\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\lim f}{\lim g}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Considere \(|g(x)| \leq M\) .Dado \(\epsilon > 0\) qualquer ,defina \(\epslion' = \epsilon/M\) .

Da hipótese do limite valer 1 , existe \(\delta > 0\) tq se

\(0 <|x| < \delta\) então \(|f(x)/g(x) -1| = |f(x) -g(x)|/|g(x)| < \epsilon'\) o que implica que \(|f(x) -g(x)| < |g(x)| \epsilon' \leq M \epsilon' = \epsilon\) .