Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos, gostava que alguém confirmasse se o cálculo que fiz para determinar o limite está correto, uma vez que não consigo encontrar a resolução deste exame, e em particular deste exercício.

\((1)\text{ }\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )\)
\((2)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, \ln \left ( \frac{x^{2}+1}{\frac{x}{x}} \right )\)
\((3)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, \ln \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}} \right )\)
\((4)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, \ln \left ( 1+\frac{1}{x^{2}} \right )\)
\((5)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left [ \frac{\ln \left ( 1+\frac{1}{x^{2}} \right )\times \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \right ]\)
\((6)\text{ }=\lim _{y\rightarrow 0}\left [ \frac{\ln \left ( 1+y \right )\times y}{y} \right ]\)
\((7)\text{ }=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{\ln \left ( 1+y \right )}{y}\times \lim _{y\rightarrow 0}\, {y}= {1} \times {0}={0}\)

Agradeço desde já a disponibilidade!

(editado, e numerado, por Fraol para melhorar a visualização).

Boa noite,

Você poderia ir até o passo (4) e depois concluir que o limite é 0, ln(1), há que no limite \(\frac{1}{x^2}\) vai para 0 na expressão.

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Fraol
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Olá, estive a ver esse tal exame e encontrei lá essa questão. Para a aplicação desse limite notável, a resolução está correctíssima. Mas havia outro limite notável que facilitaria mais as contas.

\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )=
=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\left (\ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )x}{x} \right )=
=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\ln(x+0)}{x}-\frac{\ln x}{x} \right ) \times \lim _{x\rightarrow +\infty }x=0 \times \infty=0\)

Como lá não dizia necessariamente para aplicar qualquer limite notável, a resolução mais rápida seria:
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( \frac{x}{x} \right ) \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty } \left ( \ln (1) \right )=0\)

A meu ver é mais simples desta maneira.
Cumprimentos

\(lim _{x\to -\infty}\ln (x+\frac{1}{x})-\ln x = lim_{x\to -\infty}\ln(\frac{x^{2}+1}{x})-\ln x = lim_{x\to -\infty}\ln\(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}) = \ln(lim_{x\to -\infty}(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}))= \ln(lim_{x\to -\infty}(\frac{x^2}{x^2}))= \ln(1)=0\)