Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde,

Não sou de matemática mas sempre estive ligado a esta área, até por apoio a familiares e amigos.
Surgiu-me uma dúvida relativamente à determinação de um limite cuja indeterminação não fui capaz de resolver.
Peço a ajuda de quem me puder auxiliar nesta dúvida.

Determinar o seguinte limite (espero que seja perceptível a escrita do enunciado)

lim(x→+∞) (x+1)(2^x)/(1-3^x )

Desde já o meu obrigado

Boa tarde, desde já peço-lhe que nas próximas dúvidas utilize a ferramenta LaTex que faz parte das regras do forum, a fim de melhor compreensão por parte dos usuários.

A minha sugestão é expandir o numerador e de seguida dividir tanto o numerador como o denominador por \(3^x\)

\(\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2^x(x+1)}{1-3^x} \right )
\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2^xx+2^x}{1-3^x} \right )
\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{\frac{2^x}{3^x}x+\frac{2^x}{3^x}}{\frac{1}{3^x}-\frac{3^x}{3^x}} \right )\)

\(2^x<3^x\), logo à medida que x tende para infinito, \(\frac{2^x}{3^x}\) tende para 0.

\(\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{\left (\frac{2}{3} \right )^xx+\left (\frac{2}{3} \right )^x}{\frac{1}{3^x}-1} \right)=\frac{0+0}{0-1}=0\)

Antes de mais o meu Muito Obrigado pela sua resposta. Peço desculpa não ter colocado a formulação do problema utilizando a "linguagem" aqui utilizada mas acontece que me registei hoje mesmo e por esse motivo não estou familiarizado a sua utilização do editor de equações.
Imaginei que existisse um fórum destes procurei e estou encantado com a sua dimensão.

Garantidamente que o vou utilizar regularmente.

Está aqui precisamente a minha dúvida porque seria este o meu raciocínio : nesta proposta de resolução, na primeira parcela do numerador não voltamos a ter o mesmo tipo de indeterminação 0x∞ ? Ou seja, quando x tende para infinito e nos surge \(\left (\frac{2}{3} \right )^xx\)

Obrigado,

De uma forma intuitiva eu posso dizer que a função \(\left ( \frac{2}{3} \right )^x\) vai diminuir muito mais rápido do que a função \(x\) vai aumentar, para o mesmo intervalo. E quando isso acontece, o produto destes dois vai tender para o mesmo resultado da função que tem maior variação no mesmo intervalo. Ou seja, vai tender para zero.

Mas pelas sombras das dúvidas pode-se sempre calcular o limite para quando x tende para o infinito deste produto. Aplicando a regra de Cauchy.
\(\lim_{x\rightarrow \infty } \left ( \left ( \frac{2}{3} \right )^xx \right )=\lim_{x\rightarrow \infty } \left (\frac{1}{ \left ( \frac{3}{2} \right )^x}\times x \right )=\lim_{x\rightarrow \infty } \left (\frac{x}{ \left ( \frac{3}{2} \right )^x} \right )
u=x
v=\left ( \frac{3}{2} \right )^x
u'=1
v'=\left ( \frac{3}{2} \right )^x \times \ln \left ( \frac{3}{2} \right )
\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{\left ( \frac{3}{2} \right )^x \times \ln \left ( \frac{3}{2} \right )} \right )=0\)

Caro Pedro,

Tem toda a razão.
MUITO OBRIGADO !!

Boa tarde, sou aluno do secundário do 12ºano e estou com um problema ao ver essa proposta de resolução: No exame não somos autorizados a utilizar o método de Cauchy, que está fora do programa, pelo que temos de nos limitar às regras básicas de levantamento de indeterminações. Gostaria de saber se alguém tem uma forma para resolver este limite sem regras de Cauchy.
Muito obrigado

Efectivamente existem inúmeros exemplos/exercícios que não podem ser resolvidos com a matéria leccionada no 12º ano pois a sua forma indeterminada requer a aplicação da Regra de Cauchy/L'Hopital (não confundir com o Teorema de Cauchy) que apenas são ministradas em módulos de Análise Matemática.
Sinceramente, neste exercício em particular, sem a aplicação desta regra, o levantamento da indeterminação só poderia ser efectuado pelo que diria "forma intuitiva" quando a determinada altura surge a parcela \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}x\)
Numa situação destas, porque a base é inferior a 1, quando x tende para infinito a exponencial tenderá para zero. Evidente que surge uma nova indeterminação do tipo 0x\(0\times \infty\)
A forma intuitiva para se resolver esta questão sem a Regra de Cauchy será pensar que a fracção exponencial tende mais depressa para zero que o "x" para infinito (o limite do produto tenderá para o limite da parcela que apresentar maior variação incremental). Assim deste modo podemos pensar que o produto tenderá para zero (sem indeterminação).

Até que ponto poderia resolver o exercício no âmbito da matéria do 12º ano também me ocorreu e era a minha dúvida inicial. Tive a oportunidade de comunicar aqui com outro colega, a quem agradeço o interesse demonstrado pela questão. e que não só corroborou esta forma intuitiva de resolução como fez a aplicação da regra de Cauchy para levantamento da indeterminação.