Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos,

(Exame Nacional 2010 - 2ª fase)
De uma função h, de domínio R, sabe-se que:
. h é uma função par;
. \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( h\left ( x \right )-2x \right )=0\)

Qual é o valor de \(\lim _{x\rightarrow -\infty }\, h\left ( x \right )\) ?

Aqui está a resolução:

\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( h\left ( x \right )-2x \right )=0\Leftrightarrow \, \lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )-\lim _{x\rightarrow +\infty }\, 2x=0\Leftrightarrow \lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, 2x\Leftrightarrow \, \lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )=+\infty\)

Como a função é par, \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )=\lim _{x\rightarrow -\infty }\, h\left ( x \right )\, \therefore \: \lim _{x\rightarrow -\infty }\, h\left ( x \right )=+\infty\)

No entanto, mesmo com a resolução não consigo perceber o porquê de \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )=\lim _{x\rightarrow -\infty }\, h\left ( x \right )\) . Eu sei que se h é uma função par, então h (x) = h (-x), mas não entendo o porquê daquela igualdade.
Será que alguém me poderia ajudar?
Agradeço desde já.

\(\lim_{x\to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} h(-x)\)

Mas, notando que quando \(x \to +\infty\) temos que \(-x \to -\infty\) podemos dizer que o último limite é

\(\lim_{x\to -\infty} h(x).\)

Agradeço imenso por me ter respondido tão prontamente, mas apesar do esclarecimento não tenho a certeza de ter compreendido na totalidade.

Percebi que se a função é par então \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( -x \right )\)



Significa então que \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( -x \right )=\lim _{-x\rightarrow -\infty }\, h\left ( -x \right )\) e que, por sua vez, \(\lim _{-x\rightarrow -\infty }\, h\left ( -x \right )=\lim _{x\rightarrow -\infty }\, h\left ( x \right )\) ?

Uma função par é uma simetria! Onde o eixo y é o eixo de simetria, ou seja um espelho. O que um lado faz, o outro copia.
Deste modo:

Quando \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\, h\left ( x \right )\) tende para algo
O \(\lim _{x\rightarrow -\infty }\, h\left ( x \right )\) vai imitar.

Para se entender melhor é ver graficamente. Basta olhar para a função \(f(x)=x^2\). Uma função par.

E é fácil perceber o porquê de \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\, x^2=\lim _{x\rightarrow -\infty }\, x^2\)

Obrigada aos dois! Estas excelentes explicações com certeza aniquilaram quaisquer dúvidas que pudesse ter.