Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém consegue resolvê-los?
Se possível, por regras de limites, e não L'hospital

Muito obrigado desde já.

Olá, vou ajudar com o primeiro

\(\large \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-9} \right )^{x+3}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1+\frac{10}{x^{2}-9} \right )^{x+3}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1+\frac{10}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )} \right )^{\frac{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}{\left ( x-3 \right )}}=\left [\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1+\frac{10}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )} \right )^{\left ( x+3 \right )\left ( x-3 \right )} \right ]^{\frac{1}{x-3}}=\left (e^{10} \right )^{\frac{1}{x-3}}=\left (e^{10} \right )^{\lim_{x\rightarrow +\infty }\: \frac{1}{x-3}}=\left ( e^{10} \right )^{0}=e^{0}=1\)

Relativamente ao segundo, pode começar por se livrar do que não contribui para a indeterminação...

\(\lim_{x\to 1^{+}}\left( \frac{x^2 \ln x}{x^{2x+1}-x}\right)^3 = \frac{1}{8}\left( \lim_{x\to 1^{+}}\,\,\, \frac{\ln x}{x^x-1}\right)^3 = \frac 18 \times 1^3 = \frac 18\)

OBS1: Usando a regra de Cauchy,

\(\lim_{x\to 1^{+}}\,\,\, \frac{\ln x}{x^x-1} = \lim_{x\to 1^{+}}\,\,\, \frac{1/x}{(\ln x +1)x^x} = 1\)

OBS2:

\((x^x)' = (e^{x \ln x})' = (\ln x +1) e^{x \ln x} = (1+\ln x) x^x\)

Mt obrigado pela atenção de vcs, Telma e Sobolev.

Tava precisando mt! Agradecido