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Resolver \(\large \lim_{x\rightarrow +\infty }\: 4-x+\ln \left ( x+1 \right )\)

(1) \(\large \lim_{x\rightarrow +\infty }\: x\left [ \frac{4}{x} -1+\frac{\ln \left ( x+1 \right )}{x}\right ]=\lim_{x\rightarrow +\infty }\: x\left [ 0-1+\frac{\ln \left ( x+1 \right )}{x} \right ]=\lim_{\frac{1}{x}\rightarrow 0}\: \frac{1}{x}\left [ -1+\frac{\ln \left ( \frac{1}{x}+1 \right )}{\frac{1}{x}} \right ]=0\times \left ( -1+1 \right )=0\)


(2) \(\large \lim_{x\rightarrow +\infty }\, 4+\lim_{x\rightarrow +\infty } \left [-x+\ln \left ( x+1 \right ) \right ]=4+\lim_{\frac{1}{x}\rightarrow 0}\left [ \frac{1}{x} \left ( -1+\frac{\ln \left ( \frac{1}{x}+1 \right )}{\frac{1}{x}} \right )\right ]=4+0\times 0=4\)

Qual das resoluções anteriores está correta? (se é que alguma esteja correta )

Estão as duas erradas, porque quando trocou x por 1/x a expressão deixou de ser a mesma, portanto os limites que igualou poderão não ser iguais (que é o caso).

A minha possível resolução passaria por colocar: \(-x=\ln(e^{-x})\)

\(\large \lim_{x\rightarrow +\infty }\: \left (4-x+\ln \left ( x+1 \right ) \right )=4 + \lim_{x\rightarrow +\infty }\:\left ( \ln (e^{-x}(x+1)) \right )=4+\ln (0+0)=4+(-\infty )=-\infty\)