Limite de função com raízes cúbicas no numerador e denominador

[jd.joaodaniel]

Calcular o limite da seguinte função, caso exista:
\(lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{1+\sqrt[3]{3x-1}}\)

Já tentei fazer por mudança de variável, mas não consegui... E também creio não ser o caso de multiplicar pelo conjugado. SEM regra de L'Hospital (caso ela seja aplicável aqui) , pois ainda não sei derivar.

[Davi Constant]

Bom, vamos lá...
devemos lembrar que:
\(a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)\)

Vamos usar essas relações para obter um resultado semelhante ao que fazemos com conjugados em raízes quadradas...

1°) termo \(1-\sqrt[3]{1-x}\)
Usaremos \(a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)\)

\(1-\sqrt[3]{1-x}\cdot\frac{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}=\frac{1-(1-x)}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}=\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}\)

2°) termo \(1+\sqrt[3]{3x-1}\)
Usaremos \(a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)\)

\(\frac{1}{1+\sqrt[3]{3x-1}}\cdot\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}=\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{1+(3x-1)}=\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{3x}\)

Unindo esses dois resultados ao limite, obteremos:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{1+\sqrt[3]{3x-1}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}\cdot\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{3(1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2})}=\frac{1-(-1)+1}{3(1+1+1)}=\frac{1}{3}\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.