provando, pela definição, que um limite é diferente

[Rodrigo]

Podem verificar abaixo a prova de que lim (3x - 2) ≠ 11 e confirmar se está correta ou errada?
x→-1


Examinando-se a hipótese 0 < |x - (-1)| < delta: 0 < |x - (-1)| < delta => |x - (-1)| < delta => 3|x - (-1)| < 3delta => |3x + 3| < 3delta => |(3x - 2) + 5| < 3delta. Fazendo 3delta = epsilon segue-se que delta = 1/3epsilon, o que significa que |(3x - 2) + 5| < 3delta <=> |(3x - 2) - (-5)| < epsilon. Portanto L = -5 é o limite, na função dada, para x tendendo a -1 com delta > 0, epsilon > 0 e delta = 1/3epsilon. Como um limite é único, L ≠ 11 para x tendendo a -1 na função 3x - 2.


Att,

[Fraol]

Boa noite,
Está certo. Você mostrou que o limite da função dada é \(-5 \neq 11\).

Uma forma alternativa, dedutível do seu desenvolvimento poderia ser a seguinte:

Seja L o limite então devemos mostrar que:

\(L = \lim_{x -> -1} {(3x - 2)} <=> \forall \epsilon > 0 : (0 < \left | {x+1} \right | < \delta ) => ( \left | {3x -2 - L} \right | < \epsilon )\).

Escolhamos \(\delta = \frac{ \epsilon } {3}\) , então

\(0 < \left| x + 1 \right| < \delta = \frac{ \epsilon } {3}\) =>

\(0 < \left| 3x + 3 \right| < \epsilon\) =>

\(0 < \left| 3x -2 - (-5) \right| < \epsilon\)

Logo \(L = -5 \neq 11\).

Geralmente, quando sabemos que uma afirmação é falsa, basta refutá-la com algum contra-exemplo ou argumentação equivalente. Por exemplo: Sabemos que os limites laterais devem ser iguais e entornam o valor da função na vizinhança do ponto, que nesse caso é -5, logo refutamos a afirmação de que o limite é igual a 11.

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[Rodrigo]

ok, fraol. Obrigado pelas dicas