Limite - O que fazer nesse caso?

[Estudioso]

Resolva o limite \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+tg\,x}{x-tg\,x}\)

Como resolvo este limite por favor?

Obrigado

[Fraol]

Oi, você pode usar a regra de L'Hopital ?

[Estudioso]

Gostaria, se possível, que não fosse pela Regra de L'Hopital.

Obrigado

[Fraol]

Boa tarde,

Gostaria, se possível, que não fosse pela Regra de L'Hopital

Hummm ... sem L'Hopital. Eu tentei agora há pouco duas coisas: a primeira tentativa foi colocar o x em evidência no numerador e no denominador e, a segunda, multiplicar ambos pelo conjugado do denominador e fiquei tal como cachorro correndo atrás do rabo, volta e meia ia para a indeterminação \(\frac{0}{0}\). Pode ser que outro colega tenha um solução para isso.

Outra forma de pensar pode ser a seguinte:

Separamos o limite em dois:
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+tg\,x}{x-tg\,x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x-tg\,x} + \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg\,x}{x-tg\,x}\)

Inicialmente vamos analisar as 3 funções \(x, tg(x)\) e \(x-tg(x)\) isoladamente:

Para \(x < 0: tg(x)<0; x-tg(x)>0\) então o quociente da expressão do primeiro limite é negativo.
Para \(x > 0: tg(x)>0; x-tg(x)<0\) então o quociente da expressão do segundo limite é negativo, também.

(editado para simplificar a análise que estava um pouco confusa antes)

Comparemos \(x\) e \(x-tg(x)\): Como \(x\) vai para 0 mais lentamente do que \(x - tg(x)\), então o quociente \(\frac{x}{x-tg(x)}\) vai para \(- \infty\) mais rapidamente.

Comparemos \(tg(x)\) e \(x-tg(x)\): Como \(tg(x)\) vai para 0 mais lentamente do que \(x-tg(x)\), então o quociente \(\frac{tg(x)}{x-tg(x)}\) vai para \(- \infty\) mais rapidamente.

Somando os limites obtemos \(- \infty\).

[Sobolev]

E pode usar limites notáveis? Se considerar como verdadeiro que
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

pode fazer o seguinte:

\(\lim_{x \to 0}\frac{x+\tan x}{x-\tan x} =\lim_{x \to 0} \frac{x-\frac{\sin x}{\cos x}}{x-\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x+ \sin x}{x \cos x - \sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x + \frac{\sin x}{x}}{\cos x- \frac{\sin x}{x}} = \frac{2}{0^{-}} = -\infty\)

[Estudioso]

Sobolev, até aqui entendi:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos\,x+\frac{sen\,x}{x}}{cos\,x-\frac{sen\,x}{x}}\)

A resposta não seria \(\frac{2}{0}\)?

Obrigado

[Sobolev]

Boa tarde Estudioso,

A função \(\cos x - \frac{\sin x}{x}\) tende para zero quando \(x \to 0\), mas sempre por valores negativos, daí assinalar \(0^{-}\). Assim podemos dizer quer o limite em causa é \(- \infty\) e não apenas \(\infty\) sem sinal.

[Estudioso]

Sobolev, por que devo analisar somente para valores a esquerda de zero no denominador?

[Fraol]

Oi Estudioso,

(editado para tentar melhorar a resposta).

por que devo analisar somente para valores a esquerda de zero no denominador?

Não é só para valores à esquerda.

Nas imediações de \(x=0\), à direita ou à esquerda, o coseno é menor do que \(1\), então a expressão \(cos(x) - \frac{sen(x)}{x} = cos(x) - 1\) dá sempre negativo.