Provar limite de uma função usando a definição formal

[habakuk.conrado]

Prove a afirmação usando a definição formal de limite.

lim _x→1 f(x)=1, se f(x)=x², x≠1 e f(x)=2, x=1

[Fraol]

Boa noite,

Vamos rascunhar um pouco:
Estamos no mundo dos números reais.
Devemos provar que para todo epsilon maior do que 0, existe um delta maior do que zero tal que se a distância entre \(x\) e \(1\), \(x \rightarrow 1\), for menor do que delta, então a distância entre o valor de \(x^2\) e \(1\) (limite \(1\)) é menor do que epsilon.

ou seja:
\(\left | x^2 - 1 \right | < \epsilon \\ \left | x - 1 \right | \cdot \left | x + 1 \right |< \epsilon\)

A gente pode limitar delta em 1, isto é, tomar um intervalo na vizinhança de 1 com tamanho 1, nesse caso o maior valor de um vizinho de \(x\) seria \({x} + \delta = {x} + {1} = {1} + {1} = {2}\)

usando isto na nossa última expressão:
\(\left | x - 1 \right | \cdot \left | x + 1 \right |< \epsilon \\ \left | x - 1 \right | \cdot 2 < \epsilon \\ \left | x - 1 \right | < \frac{\epsilon}{2}\)

Agora podemos formalizar a prova:

\(\forall \epsilon > 0\), tomemos \(\delta = min\left \{ \frac{\epsilon}{2}, 1 \right \}\).

Se \(0 < \left | x - 1 \right | < \delta\), então

\(\left | x^2 - 1 \right | = \left | x - 1 \right | \cdot \left | x + 1 \right | < \delta \cdot 2 = \frac{\epsilon}{2} \cdot 2 = \epsilon\).