calculo de limite de uma uma funçao

[alanzito]

Ao calcular o limite lim y->1 y-1/lny, fez-se a substituição x=ln y, obtendo-se o novo limite:

[Fraol]

A expressão é \(lim_{y \rightarrow 1} \left[ \frac{y-1}{ln(y)} \right ]\) ? Você sabe/pode aplicar L'Hopital?

[alanzito]

eu nao entendi. pq deu esse valor no gabarito. \(\lim_{x\to0} \frac{e^{x}-1}{x}\)

[alanzito]

no caso como o enunciado disse que \(x=lny\)
entao \(y=e^{x}\) e que era \(ln y=x\). e nao entendi o pq ficou \(\lim_{x\to0}\) ja que antes era
\(\lim_{y\to1}\) entao nao era pra ficar \(\lim_{x\to1}\). tem como o senhor resolver a questao passo a passo pra mim entender melhor.

[Fraol]

Oi,

Antes de mais nada peço desculpas pois não havia entendido o enunciado do exercício, talvez porque não o tenha lido com atenção. Daí eu estava pensando que era para resolver o limite.

Mas o enunciado pede apenas para fazer uma substituição e obter a expressão do (novo) limite.

eu nao entendi. pq deu esse valor no gabarito. \(\lim_{x\to0} \frac{e^{x}-1}{x}\)

Quando a gente faz a substituição \({x} = ln{y}\), se queremos isolar o \(y\), aplicamos a definição de logaritmo e obtemos:

\({x} = ln{y} = log_{e}{y} \rightarrow y = e^{x}\).

Além disso, quanto \(y\) tende a \(1\), o \(ln{y}\) tende a \(0\) ou seja o \(x\) tende a \(0\).

Com isso posto, o exercício se fecha com a simples substituição na expressão original.

Se continuar com alguma dúvida, por favor, volte aqui.