Limite interessante

Calcular o seguinte limite

\(\lim\frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^2}-\frac{n}{3}\)

Editado pela última vez por luisaM em 11 dez 2012, 18:38, num total de 1 vez.

[João P. Ferreira]

Olá

Repara que

\(\frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{2}}-\frac{n}{3}=\frac{\sum_{i=1}^{n} i^2}{n^{2}}-\frac{n}{3}=\frac{3\sum_{i=1}^{n} i^2 -n^3}{3n^{2}}\)

lembra-te que

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... +n+i%5E%32

\(\sum_{i=1}^{n} i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

assim ficas com

\(\frac{1/2 n(n+1)(2n+1) -n^3}{3n^{2}}\)

agora ficas com um polinómio em cima e em baixo, que tem fácil resolução

Muito Obrigada, quem me dera algum dia conseguir saber assim tanto, isto ajudou-me mesmo muito. Muito Obrigada mais uma vez.

[nfsilva81]

Não cheguei à resolução do limite dos polinomios é possivel ajudar

[João P. Ferreira]

Não cheguei à resolução do limite dos polinomios é possivel ajudar

JoanaM, queres ajudar por favor aqui o caro amigo?

Não cheguei à resolução do limite dos polinomios é possivel ajudar

JoanaM, queres ajudar por favor aqui o caro amigo?

sim, posso ajudar sim a Resolução:


lim┬(n→+∞)⁡〖(n(n+1)(2n+1))/(6/n^2 )〗-n/3= lim┬(n→+∞) (n(n+1)(2n+1)-2n^3)/(6n^2 )= lim┬(n→+∞) ((2n^3+n^2+2n^2+n)-2n^3)/(6n^2 ) = lim┬(n→+∞) (3n^2+n)/(6n^2 )→ 1/2

[nfsilva81]

Obrigado a ambos.

Obrigado a ambos.

Sabes resolver a pergunta 6 da natureza das séries?

A) \(\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{log(n)}{n^{2}})\)

B) \(\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{2^{n}+3^{n}}{n^{2}+log(n)+5^{n}})\)

C) \(\sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{(-1)^{n}}{log(n)+(-1)^{n}})\)

Será que a A) e B) sao convergentes e a C) é simplesmente convergente? Como posso demonstrar?
Obrigada.

a última para mim é a mais difícil por causa do (-1)no denominador que me está a virar a cabeça ao contrário ....penso que por isso já não é divergente e que será apenas simplesmente convergente!

as 2 primeiras acho que são ambas convergentes, mas não tenho bem a certeza...

Grata pela atenção.


Será que me pode ajudar?

[João P. Ferreira]

Joana

Tenta usar LaTex para as expressões, não é difícil, tens em cima um botão "Editor de Equações"

Ora

\(\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{log(n)+(-1)^{n}}\right)\)

é só aplicares o critério de Leibniz

Neste caso \(a_n=\frac{1}{log(n)+(-1)^{n}}\)

assim, basta achares

\(\lim a_n = \lim \frac{1}{log(n)+(-1)^{n}} = \frac{1}{\infty+\lim (-1)^n}\)

como \((-1)^n\) dá 1 ou -1 o limite em apreço é zero, logo a série é convergente

[João P. Ferreira]

Esqueci-me de ver

tens ainda que confirmar que \(|a_n|\) é uma sucessão monótona decrescente, ou seja \(|a_{n+1}|\leq |a_n|\)

se conseguires demonstrar que a partir de determinado \(n>k\) a expressão \(|a_{n+1}|\leq |a_n|\) se verifica também podes concluir que a série é convergente