Sejam f, g:X->r, "a" pertencente a X, f,g contínuas em a pertencente a X...

[Gonsalves]

Prezados amigos do Fórum de Matemática.
Venho aqui pra pedir mais uma vez a ajuda de vocês numa questão que está me "tirando o sono".

A questão é a seguinte:

Prove o seguinte teorema:
Sejam \(f,g:X\rightarrow \mathbb{R},a\in X,f,g\) contínuas em \(a\in X\). Então:

\(\frac{f}{g}:X\rightarrow \mathbb{R},g(x)\neq 0\) definida por \(\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\forall x\in X\) é contínua em \(a\in X\).

Obrigado.

Gonsalves

[Mr_Hoolands]

Darei um caminho para a questão.

\(Prove \ \ que \ \ \frac{1}{g(x)} eh \ \ continua \ \ em \ \ a. \ \ E \ \ depois \ \ conclua \ \ utilizando \ \ o \ \ seguinte \ \ fato \ \: "se \ \ f \ \ e \ \ h \ \ sao \ \ continuas \ \ em \ \ a, \ \ entao \ \ (f.h)(x) =f(x)*h(x) é contínua \ \ em \ \ a ." Basta \ \ considerar \ \ h=\frac{1}{g(x)}.\)


Caso ainda não tenha feito a demonstração dessa regra para o produto é mais simples, basta usar o critério sequencial de continuidade ou mesmo epsilon e delta.

[Gonsalves]

Mr_Hoolands

Tentei fazer conforme sugerido por você, porém não estou conseguindo avançar nas demonstrações. Está muito difícil pra mim. Estou iniciando o estudo desse conteúdo na faculdade. Poderia fazer essa demonstração pra mim, por favor? Assim poderei resolver com mais facilidade outros exercícios similares.

Agradeço muitíssimo.

Gonsalves

[Tales]

Olá, Gonsalves.

Também tentei resolver essa questão seguindo as orientações, porém também não consegui.
Achei bem complexa essa questão.

Tomara que algum colaborador do fórum possa ajudar.

TALES

[Kito]

Gente...

Tô "penando" pra resolver essa questão também. Tá difícil demais.

Help, por favor!

[Sobolev]

O mais fácil neste caso é usar a definição de limite segundo Heine.

\(\lim_{x \to a} h(x) = h(a)\) se e só se para toda a sucessão \(x_n \to a\) de tem \(h(x_n) \to h(a)\). No nosso caso apenas precisamos mostrar que, tomando uma qualquer sucessão \(x_n \to a\), se tem \(\lim \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f(a)}{g(a)}\). Ora,

\(\lim\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{\lim f(x_n)}{\lim g(x_n)} = \frac{f(\lim x_n)}{g(\lim x_n)} = \frac{f(a)}{g(a)}\).

obs: A continuidade de f,g implica que \(\lim f(x_n) = f(\lim x_n)\) e que \(\lim g(x_n) = g(\lim x_n)\).