Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0.
17 abr 2016, 13:48
Galera do fórum. Tudo bem?
Necessito de um "help" de vocês novamente...
Não consigo resolver a questão abaixo. Alguém pode me ajudar, por favor?
Sejam \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\). Se g é contínua em x=0, com g(0)=0 e \(\left | f(x)\leq \left | g(x) \right |\right |, \forall x\in \mathbb{R}\). Prove que f é contínua em x=0.
Gente...
Muito obrigado.
Galileu
Necessito de um "help" de vocês novamente...
Não consigo resolver a questão abaixo. Alguém pode me ajudar, por favor?
Sejam \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\). Se g é contínua em x=0, com g(0)=0 e \(\left | f(x)\leq \left | g(x) \right |\right |, \forall x\in \mathbb{R}\). Prove que f é contínua em x=0.
Gente...
Muito obrigado.
Galileu
Re: Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0.
18 abr 2016, 23:37
Olá, Galileu.
Tentei fazer por aqui, mas também não consegui.
Bem difícil, viu?
Continuarei tentando.
Espero que alguém do fórum possa ajudar.
Boa sorte.
Caruso
Tentei fazer por aqui, mas também não consegui.
Bem difícil, viu?
Continuarei tentando.
Espero que alguém do fórum possa ajudar.
Boa sorte.
Caruso
Re: Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0.
18 abr 2016, 23:40
Galileu.
Assim como o Caruso, também tentei fazer por aqui, mas tá bem trabalhoso e confuso.
Estou há alguns dias debruçado sobre essa questão, mas não consigo evoluir.
Espero, assim como disse o nosso amigo Caruso, que alguém do fórum possa nos ajudar nessa questão super difícil (na minha opinião).
NiGoRi
Assim como o Caruso, também tentei fazer por aqui, mas tá bem trabalhoso e confuso.
Estou há alguns dias debruçado sobre essa questão, mas não consigo evoluir.
Espero, assim como disse o nosso amigo Caruso, que alguém do fórum possa nos ajudar nessa questão super difícil (na minha opinião).
NiGoRi
Re: Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0.
19 abr 2016, 21:52
É só ir pela definição de continuidade.
Se \(|f(x)|\leq |g(x)|\) para qualquer \(x\in \mathbb{R}\) e \(g(0)=0\) então \(f(0)=0\) (pois \(|f(0)|\leq |g(x)|=0\)).
Se g é contínua em x=0 então \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon\) (por definição de continuidade). Como \(|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq |g(x)|=|g(x)-g(0)|\) temos que \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon\) logo f é contínua no ponto x=0.
Se \(|f(x)|\leq |g(x)|\) para qualquer \(x\in \mathbb{R}\) e \(g(0)=0\) então \(f(0)=0\) (pois \(|f(0)|\leq |g(x)|=0\)).
Se g é contínua em x=0 então \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon\) (por definição de continuidade). Como \(|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq |g(x)|=|g(x)-g(0)|\) temos que \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon\) logo f é contínua no ponto x=0.