Como calcular esse limite trigonometrico

[PRADO]

lim x->0 \(\frac{1-cos^{3}x}{x.senx.cosx}\)

Tentei fazer separando o numerador por (1-cos²x.cosx) para substituir por (sen²x.cosx),mas não consegui resolver assim


Gab: 3/2

[jackrussell]

\(1-\cos ^{3}(x)=1-cos^{2}(x).cos(x)=1-[1-sen^{2}(x)]cos(x)=[1-cos(x)]+[sen(x).sen(x).cos(x)]\)


\(\lim_{x\rightarrow 0}\; \frac{1-\cos ^{3}(x)}{x.sen(x).cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\; \frac{1-cos(x)}{x.sen(x).cos(x)}+\lim_{x\rightarrow 0}\; \frac{sen(x).sen(x).cos(x)}{x.sen(x).cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{1-cos(x)}{x.sen(x).cos(x)}+1\)

Pois \(\lim_{x\rightarrow 0}\; \frac{sen(x)}{x}=1\) (limite fundamental)

Resta provar que o outro limite vale 1/2;

Pela regra de L'Hôpital, lembrando que \(sen(x)cos(x)=\frac{sen(2x)}{2}\):

\(\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{1-cos(x)}{x.sen(x).cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{2-2.cos(x)}{x.sen(2x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{2.sen(x)}{sen(2x)+x.cos(2x).2}\)

Pela regra de L'Hôpital novamente:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{1-cos(x)}{x.sen(x).cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0};\frac{2-2.cos(x)}{x.sen(2x)}=[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{2.sen(x)}{sen(2x)+x.cos(2x).2}=\lim_{x\rightarrow 0}\;\frac{2.cos(x)}{2.cos(2x)+2cos(2x)-x.4.sen(2x)}=\frac{1}{2}\)

Portanto o limite original vale 1+1/2=3/2