LIMITE COM EXPOENTE FRACIONARIO

[William]

BOA NOITE

Preciso de ajuda, pois não cnsigo decompor o seguinte limite:

x\(\lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}\)
X^1/2-1

não entendo como funciona este calculo.
Se poderem ajudar eu agradeço.
abraço

[josesousa]

Use a regra de Cauchy (ou de L'Hopital)
\(\lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}=\)
\(\lim_{x\to1}\frac{(1/3)x^{-2/3}}{(1/2)x^{-1/2}}=\)
\(\lim_{x\to1}\frac{2x^{-2/3+1/2}}{3}=\)
\(\lim_{x\to1}\frac{2x^{-1/6}}{3}=\frac{2}{3}\)

[William]

muito bem, só que o professor ainda não chegou em derivada, por isso tem que haver um jeito de resolver sem derivar.

Mesmo assim, muito obrigado amigo.

Ainda não consegui resolver, se alguem conseguir, sem derivar, eu agradeço.

[Rui Carpentier]

Ainda não consegui resolver, se alguem conseguir, sem derivar, eu agradeço.

Nesse caso é só tomar a mudança de variável \(t=x^{1/6}\). Ficamos então com:

\(\lim_{x\to 1}\frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}=\lim_{t\to 1}\frac{t^2-1}{t^3-1}=\lim_{t\to 1}\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}=\lim_{t\to 1}\frac{t+1}{t^2+t+1}=\frac{2}{3}\).

[William]

MARAVILHA !!!
muito obrigado meu amigo.

agora sim consegui resolver.

obrigado