Limites | sen(2x)²/x | x*(sen(x))²

[miguelsantos]

Boas

Nunca compreendi bem como se resolvem este tipo de limites com sen ou cos ao quadrado. Qual é a metedologia de resolução dos seguintes exercicios?

[João P. Ferreira]

Meu caro... seja bem-vindo ao fórum

Neste tipo de limites pode normalmente usar-se a Regra de Cauchy

Cingir-me-ei por agora ao primeiro limite

Quer resolver

\(\lim_{x \to 0}{\frac{sen^2(2x)}{x}}\)

Lembre-se do limite notável que se aprende no secundário:

\(\lim_{x \to 0}{\frac{sen(x)}{x}}=1\)

Assim, se não quiser usar a Regra de Cauchy, pode por exemplo "moldar" o limite para que fique parecido com algum limite notável que conheça, ou seja, repare que:

\(\lim_{x \to 0}{\frac{sen^2(2x)}{x}}=\lim_{x \to 0}{2 sen(2x)\frac{sen(2x)}{2x}}=\lim_{x \to 0}2 sen(2x)\times \lim_{x \to 0}\frac{sen(2x)}{2x}=2 sen(0) \times 1=0\)

Outra forma de resolver este limite é aplicando a Regra de Cauchy

\(\lim_{x \to 0}{\frac{sen^2(2x)}{x}}=\frac{0}{0}=Ind.\)

Assim pode derivar em cima e em baixo

\(\lim_{x \to 0}{\frac{sen^2(2x)}{x}}=\lim_{x \to 0}{\frac{(sen^2(2x))'}{x'}}=\lim_{x \to 0}2.2 cos(2x). sen(2x)=0\)

Em relação ao segundo limite é só perceber que

\(x.sen^2(x)=\frac{sen^2(x)}{\frac{1}{x}}\)

qualquer dúvida apite

[miguelsantos]

Tinha duvidas se seria correcto usar a l'hopital para este tipo de funções. Muito obrigado pela ajuda

[João P. Ferreira]

De nada meu caro

Volte sempre

[jpsmarinho]

Tenho algumas perguntas:

No segundo limite, eu posso utilizar o teorema do confronto? Com ele eu consigo obter o resultado igual a +infinito, que acredito que seja o resultado certo.

Ainda no segundo limite, quando eu tento continuar o que foi feito, acabo encontrando o resultado igual a 0. Não sei no que estou errando...

Obrigado!

[josesousa]

No segundo caso não há limite porque se multiplica uma função que tende para infinito com uma função que oscila entre 0 e 1, resultando numa oscilação entre 0 e infinito, ou seja, sem limite.

[jpsmarinho]

Mas, quando eu coloco em um software, da igual a infinito...

[João P. Ferreira]

Caro

Repare que \(0\leq sen^2(x)\leq1 \forall x \in \R\)

e a função varia constantemente e não tem limite, como \(x\) tende para infinito e se trata de uma multiplicação, percebemos que não existe limite.

Certo software pode atrofiar perante estas situação de funções sem limite definido

O Wolfram Alpha para este caso dá indefinição

Vede gráfico anexo e percebe logo que não tem limite

Cumprimentos

Anexos

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