Provar limite de sequência

[Walter R]

Preciso provar que 1/2 é limite da sequencia \(x_{n}= \frac{n^{2}+n}{2n^{2}+1}\)
Ou seja, preciso provar que para qualquer \(\varepsilon >0, \exists n_{0}\in \mathbb{N}\)
tal que \(\left | x_{n}-1/2 \right |<\varepsilon\).

\(\left | \frac{n^{2}+n}{2n^{2}+1} -1/2\right |= \left | \frac{2n-1}{4n^{2}+2} \right |<\varepsilon\).

Fazendo \(\frac{2n_{0} -1}{4n_{0}^{2}+2}<\varepsilon\), chegamos a

\(4n_{0}^{2}\varepsilon - 2n_{0}+2\varepsilon +1>0\)

O problema é que eu não posso garantir que para qualquer valor de \(\varepsilon\) esta desigualdade seja verdade, ou seja, existirão alguns valores de \(\varepsilon\) para os quais não haverá \(n_{0}\).

Isto me conduz a uma contradição em relação à hipótese que eu pretendo provar. Por outro lado, sei que o limite é 1/2. Logo, estou errando em algum ponto do raciocínio.

[Fraol]

Olá Walter R ,

Creio que você pode continuar observando que:

\(\frac{2n-1}{4n^2+2} < \frac{2n-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2n+1} < \epsilon\).

Então para \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\) então qualquer \(n \gt n_0\) ...

[Fraol]

E ainda podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se

\(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então

\(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon}\).

[Walter R]

obrigado pela ajuda!

[Fraol]

Ok.
Eu cometi um erro (de digitação) no trecho:

E ainda podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se

\(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então

\(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon}\).

Então segue a resposta completa e corrigida:

... observando que:

(\(n, \epsilon > 0\))

\(\frac{2n-1}{4n^2+2} < \frac{2n-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2n+1} < \epsilon\).

Assim: \(\frac{1}{2n+1} < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} < 2n + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} - 1 < 2n \Leftrightarrow \frac{1}{ 2 \epsilon} - \frac{1}{2} < n\)

Então podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se

\(n < \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então

\(n < \frac{1}{2 \epsilon}\).

Disso segue que \(... n > n_0 ...\) (conclusão da prova do limite).

[Fraol]

Cada vez que leio encontro um erro, agora foi a troca dos sinais "<" e ">" depois do ", pois se". Como está difícil parar de errar (hehehe...) acho que vou parar de ler ...

Então segue a resposta completa e corrigida (espero!):

... observando que:

(\(n, \epsilon > 0\))

\(\frac{2n-1}{4n^2+2} < \frac{2n-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2n+1} < \epsilon\).

Assim: \(\frac{1}{2n+1} < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} < 2n + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} - 1 < 2n \Leftrightarrow \frac{1}{ 2 \epsilon} - \frac{1}{2} < n\)

Então podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se

\(n > \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então

\(n > \frac{1}{2 \epsilon}\).

Disso segue que \(... \epsilon > 0, ..., n > n_0 ...\) (conclusão da prova do limite).