limite de X(n) - II

[Walter R]

Alguém poderia ajudar no problema abaixo?
Enunciado: para a sequencia \(x_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+...+\frac{1}{n^{2}+n}\), verifique se existe ou não limite e calcule-o, se existir.

Existência: para provar a existência do limite, basta provar que a sequencia é monótona e limitada. Se for este o caso, ela converge. A sequencia é claramente decrescente e, portanto, monótona. Como existem n termos, e o maior termo é \(\frac{1}{n^{2}+1}\), posso afirmar que \(x_{n}<\frac{n}{n^{2}+1}\), \(\forall n\in \mathbb{N}\), que é uma cota superior para \(x_{n}\). Por raciocínio análogo posso dizer que \(\frac{n}{n^{2}+n}=\frac{1}{n+1}\) é uma cota inferior. Como existe cota superior e inferior, a sequencia é limitada, logo, converge ( isto está correto?)

Valor do limite: com n tendendo ao infinito, cada parcela individualmente tende para zero, e a soma de todas elas também tende para zero. Logo, \(x_{n}\rightarrow 0\) ( correto?) Ou seja, \(\forall \varepsilon >0, \exists n_{0}\in \mathbb{N}\), tal que \(\left | x_{n} -0\right |<\varepsilon , \forall n\geq n_{0}\). Para verificar isto basta escrever que \(\left | x_{n} \right |<\frac{n}{n^{2}+1}\). Fazendo
\(\frac{x_{0}}{n_{0}^{2}+1}<\varepsilon\), não consigo isolar um \(n_{0}\).

[Sobolev]

Não é por ser limitada que a sucessão converge... mas sim por estar enquadrada por duas sucessões que têm o mesmo limite. Em geral, se a partir de certa ordem tiver

\(v_n \leq u_n \leq w_n\)

e

\(\lim v_n = \lim w_n = \alpha\),

Então existe o limite de u_n e o seu valor é \(\alpha\).

Neste caso, como tem

\(\frac{n}{n^2+n} \leq x_n \leq \frac{n}{n^2+1},\)

e ambas as sucessões tendem para zero, o mesmo acontece com x_n.

[Walter R]

Boa noite, Sobolev.

Obrigado pela ajuda.

Fiz alguma pesquisa e acho que encontrei a base da sua justificativa: teorema da permanência do sinal.