Prove que existe um numero real cujo quadrado é igual ao seu cubo somado com 2

[paulatavares]

Prove que existe um numero real cujo quadrado é igual ao seu cubo somado com 2.
[Sugestão: use o Teorema do Valor Intermediário].


Desde já agradeço.

[Sobolev]

Repare que tudo se resume a provar que a equação \(x^3-x^2+2 = 0\) tem pelo menos uma solução real. Designando \(f(x) =x^3-x^2+2\) e observando que f(-2) < 0 e f(0) >0, vemos que tratando-se de uma função contínua no intervalo [-2,0], tem nesse intervalo pelo menos uma raiz. O teorema do valor intermédio é usado pois assegura que uma função contínua não pode passar de valores negativos para positivos sem se anular.

[paulatavares]

Os valores -2 e 0 foram escolhidos aleatoriamente?

[Sobolev]

Não exactamente... x = 0 escolhi devido à facilidade de cálculo. Como o polinómio tem grau impar, tend para menos infinito quando x tende para menos infinito, pelo que os valores de f acabam por se tornar negativos... x = - 2 funcionou, mas se não resultasse era simplesmente ir experimentando valores mais baixos.