limite de função logarítmica

[mat]

Como calculo lim [ln(2x+1) - ln(x+3)] para x--> infinito?
Desde já, Obrigada?!!!

[santhiago]

Primeiramente este limite só estará definido quando \(x \to +\infty\) . Neste caso , o limite apresenta uma forma indeterminada "\infty - \infty ".Deveremos manipular-lo com o objetivo de sairmos da forma indeterminada . O que podemos fazer é reescrever \(ln(2x+1) - ln(x+3)\) como \(ln\left(\frac{2x+1}{x+3}\right) = ln\left(\frac{2(x+3) -5}{x+3}\right) = ln\left(2 + \frac{-5}{x+3}\right)\) .Tente concluir ,comente as dúvidas .

[mat]

O resultado ficaria 2 + (+ infinito)= + infinito??????

[santhiago]

Não ,observe que à medida que \(x\) percorre o intervalo \((0,+\infty)\) o quociente \(\frac{5}{x+3}\) se aproxima cada vez mais de zero . Assim , a diferença \(2 - \frac{5}{x+3}\) tende a \(2\) para \(x \to +\infty\) . Como a função é contínua em \((0,+\infty)\) , \(\lim_{x\to +\infty} ln\left( 2 - \frac{5}{x+3}\right) = ln( \lim_{x\to +\infty} \left[2 - \frac{5}{x+3}\right] ) = ln(2)\) .Qulquer dúvida estou à disposição .

[mat]