Limites x->0 (e^x+x)^(1/x)

[Borracha22]

\(u)\lim_{x\to0}(e^x+x)^{\frac{1}{x}}=\)
\(v)\lim_{x\to1}(2-x)^{tg{(\frac{\pi}{2}-x)}}=\)

Respostas: u)2, v)e²

Mesmo usando a regra de L'hôpital não consegui fazer essas duas e não consegui encontrar meus erros.

[santhiago]

Dica : Considere \(L = (e^x + x)^{1/x}\) .Como \(L > 0\) quando \(x\to 0\) ,podemos tomar o logaritmo natural em ambos lados da igualdade .Assim ,

\(\lim_{x\to 0}ln( L) = \lim_{x\to 0} \frac{ ln (e^x + x)}{x}\) . Agora observe que há uma indeterminação "0/0" ,com isso podemos utilizar a regra de L'hospital .Consegue terminar ?

[Borracha22]

Aí é que é o problema. Até aí eu fiz, para as duas questões, e depois aplique L'hôpital, mas tem alguma coisa errada com os meus cálculos, porque não consigo encontrar os resultados corretos.

[santhiago]

Quais os resultados que você encontrou ? Terias como compartilhar ?

[Borracha22]

Para a primeira encontrei e². A segunda eu postei errado, a tangente é de pi sobre 2 vezes x. Mesmo vendo isso não consegui sair do inexistente depois de derivar, porque a derivada da tangente (sec²) para o limite tendendo a 1 é inexistente. Entretanto, não tentei derivar além. Vou tentar e depois posto aqui.

[santhiago]

A resposta que você encontrou está correta .Há casos que é necessário aplicações sucessivas da regra de L'hospital ,talvez o segundo exercício seja necessário isto .