Calcule o seguinte limite sem utilizar L'hôpital

[Mr_Hoolands]

\(\lim_{x->0}\frac{tgx - x}{x^3}\)

resp.: 1/3

[Sobolev]

Usando o desenvolvimento de Taylor da função Tg(x) em torno de x = 0, temos que

\(\tan x = x + \frac 13 x^3 + \frac{1}{120}\tan^{(5)} (\xi) x^5, \quad \xi \in (0,x)\)

Deste modo teremos que

\(\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x + \frac 13 x^3 + \frac{1}{120}\tan^{(5)} (\xi) x^5 - x}{x^3} =\lim_{x \to 0}\left(
\frac 13 + \frac{1}{360} \frac{\tan^{(5)}(\xi) \cdot x^5}{x^3}\right) = \frac 13\)

[Mr_Hoolands]

Obrigado, amigo. Mas será que não haveria outra forma mais simples de chegar ao resultado?
Novamente, obrigado.