lim n!/1000^n

[pedrohpinho]

Alguém por gentileza poderia me demonstrar o lim n!/1000^n, com n -> infinito? no meu livro está dizendo que esse limite é infinito, mas não consigo visualizar o pq. Não sei a derivada de n! para usar l'hôpital, nem sei se existe essa derivada!

[João P. Ferreira]

Meu caro

Qualquer limite desta forma, dá infinito

\(\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{a^n}=\infty , a \in \R\)

Simplesmente porque o fatorial cresce muito mais depressa que qualquer potência

Cumprimentos

[João P. Ferreira]

Boas mais uma vez

Repare que se \(u_n=\frac{n!}{a^n}\)

Podemos tentar achar \(\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}\)

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{(n+1)!}{a^{n+1}}}{\frac{n!}{a^n}}=\frac{a^n (n+1)!}{a^{n+1} n!}=\frac{a^n (n+1) n!}{a. a^n n!}=\frac{n+1}{a}\)

Então \(\forall_{a>0}\exists_{n \in \mathbb{N}} : \frac{n+1}{a}>1\)

Então existirá um \(n\) a partir do qual a sucessão é crescente...

Como sabemos também que \(\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = +\infty\) então a função tende para infinito

Cumprimentos