Calcule o limite [(x² - 8x + 16).(x + 2)]/(x² + 4x + 4)

[danjr5]

Calcule \(\lim_{x \to - 2} \frac{(x^2 - 8x + 16)(x + 2)}{x^2 + 4x + 4}\)

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[João P. Ferreira]

repare que pode fatorar \(x^2 + 4x + 4=(x+2)^2\) o que significa que o limite fica apenas

\(\lim_{x \to -2}\frac{x^2-8x+16}{x+2}=\lim_{x \to -2}\frac{(x-4)^2}{x+2}=\frac{36}{0}=\infty\)

[Rmsf]

repare que pode fatorar \(x^2 + 4x + 4=(x+2)^2\) o que significa que o limite fica apenas

\(\lim_{x \to -2}\frac{x^2-8x+16}{x+2}=\lim_{x \to -2}\frac{(x-4)^2}{x+2}=\frac{36}{0}=\infty\)

Obrigado pelas dicas,mas é possivel a resolução do mesmo exercicio pela regra de L'Hopital e com os passos a seguir mais ao pormenor para que o entendimento do exercicio seja pleno.
Obrigado e saudações.

[Mauro]

repare que pode fatorar \(x^2 + 4x + 4=(x+2)^2\) o que significa que o limite fica apenas

\(\lim_{x \to -2}\frac{x^2-8x+16}{x+2}=\lim_{x \to -2}\frac{(x-4)^2}{x+2}=\frac{36}{0}=\infty\)

Mestre João, pensei que em hipótese nenhuma pudesse ser zero o denominador, mesmo sendo o caso de limites.

Qual a diferença entre operações com limites e com frações comuns?

Abração
Mauro

[João P. Ferreira]

Caro Mauro

O denominador pode ser zero, não há problema nenhum. Caso tal suceda, e o numerador seja diferente de zero, não estamos perante indeterminações.

Repare que \(\frac{k}{0}=\infty \ k\in \R\)

veja toda a lista de limites aqui
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_limits

Caro Rmsf
Neste caso não é conveniente usar Cauchy, pois tem que derivar o numerador o que dá algum trabalho. É mais fácil fatorizar o denominador. Repare que \(x^2+4x+4=(x+2)(x+2)\) o que significa que um \(x+2\) do denominador (em baxio) vai cortar com o \(x+2\) do numerador (em cima) o que vai simplificar o limite