Limites de funções de duas variáveis (Dúvida conceitual susbtituição )

[Man Utd]

Minha dúvida é sobre o limite \(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sen(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\)
é correto fazer a susbtituição \(\\\\ u=x^{2}+y^{2},x\rightarrow 0,y\rightarrow 0,u\rightarrow 0\) e depois calcular o limite de uma variável?

não achei referências em livros sobre a substituição em limite de funções de duas variáveis.

att.
obrigado pela atenção.

[João P. Ferreira]

Olá Man Utd

Sim, está correto

Não se esqueça é que os limites têm de estar coerentes, ou seja

se \((x,y)\to (0,0)\) então \(x^2+y^2\to 0\)

significa que \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sen(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}\) é um limite fundamental que dá 1

[Man Utd]

olá João.

então toda vez que eu utilizar a substituição no limite de duas variavéis,o limite se tornará apenas de uma variável.

Certo de sua atenção.

att,

[João P. Ferreira]

Não, meu caro, vá com calma

Na maioria das situações vc não consegue fazer essa substituição, só quando consegue engrupar tudo numa única variável, \(u\) neste caso

Aqui a substituição já nada lhe valia

\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sen(x^{2}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}\)

[Man Utd]

Não, meu caro, vá com calma

Na maioria das situações vc não consegue fazer essa substituição, só quando consegue engrupar tudo numa única variável, \(u\) .

entendir essa parte .

mas agora tenho outra dúvida:

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\\\\ x=r*cos\alpha \\ y=r*sen\alpha\\(x,y)\rightarrow (0,0),(r,\alpha )\rightarrow (0,0)\\\\ \lim_{r\rightarrow 0}cos^{2}\alpha-sen^{2}\alpha=cos2\alpha\)

por que o ângulo alfa não apareceu no limite assim :

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\\\\ \lim_{(r,\alpha )\rightarrow (0,0)}cos^{2}\alpha -sen^{2}\alpha\)

obrigado pela atenção.
att

[João P. Ferreira]

\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)

pela sua substituição \(x^2-y^2=\cos(2\alpha)\) e \(x^2+y^2=r^2\)

logo o limite fica

\(\lim_{(r,\alpha)\rightarrow (0,0)}\frac{\cos(2\alpha)}{r^2}\)