DÚVIDA SOBRE LIMITES

[ailtoonlopes]

Meu professor passou um trabalho de pesquisa sobre "Limites que geram funções derivadas", alguém pode me ajudar. (Tenho que entregar um exemplo respondido)

[Man Utd]

Meu professor passou um trabalho de pesquisa sobre "Limites que geram funções derivadas", alguém pode me ajudar. (Tenho que entregar um exemplo respondido)

Vc se referir a isto \(\\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\) ?

por exemplo a derivada de \(f(x)=2x-1\) :

\(\\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{2x-1-2p+1}{x-p} \\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{2x-2p}{x-p} \\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{2(x-p)}{x-p} =2\)


se não for isto,bastar teclar aí

[ailtoonlopes]

Desculpa, esqueci de escrever que são limites que geram derivadas parciais.

[Davi Constant]

Bom, vamos lá
Seja \(f=f(x,y)\) uma função definida a duas variáveis 'x' e 'y', tal que \(\frac{\partial f}{\partial x}\) seja sua derivada parcial em relação a 'x'.

Sabemos que para \(f(x)\):
\(\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)

Fazendo uma extensão para duas variáveis, vem que:
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\)


Um exemplo: \(f(x,y)=xy+x^2-y^2\)
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)y+(x+\Delta x)^2-y^2-(xy+x^2-y^2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{xy+y\Delta x +x^2+2x\Delta x+\Delta x ^2-y^2-xy-x^2+y^2}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{y\Delta x+2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}y+2x+\Delta x=y+2x\)

Concluímos que \(\frac{\partial f}{\partial x}=y+2x\), que é verdadeiro!
Fica a dica para determinar \(\frac{\partial f}{\partial y}\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida, sinalize.