como se resolve este limite

[Ari]

\(\\\\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\1-sqrt{1-x}}{x}\)

[Fraol]

Boa noite,

Vou ajudar com o segundo limite:

\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)

Como se observa temos uma indeterminação na expressão do limite ( \(\frac{0}{0}\) ).

Então podemos procurar uma outra expressão, de uma função que seja equivalente àquela, exceto em \(x = 2\). Se encontrarmos então o limite dessa nova função no ponto \(x=2\) será o mesmo que o da expressão original.

Para encontrar essa nova expressão, você pode multiplicar o numerador e o denominador da expressão original pelo conjugado do numerador, isto é:

\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(\sqrt{x+2}-2)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}\).

Agora basta desenvolver:

\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(\sqrt{x+2}-2)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)\cdot(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{(x-2)\cdot(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\).

Isto feito, agora você pode trocar o \(x\) por \(2\) para finalizar a resolução desse limite.