Limite - Função de duas Variáveis (Existência do Limite)

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 38 - Pág.: 811)
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
\(f(x, y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2+xy+y^2} \ se \ (x, y)\neq (0, 0)& & \\ 0 \ se \ (x, y)=(0 ,0) & & \end{matrix}\right.\)



Resposta para o cálculo do limite: O limite não existe.


Como faço isso?

[João P. Ferreira]

Tal como lhe respondido aqui, se uma função tem limite no ponto, então é contínua nesse ponto

tem de achar \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\) e verificar que esse limite é igual ao valor do ponto \(f(0,0)=0\) (definição de limite)

ou seja, tem então que demonstrar que

\(\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+xy+y^2}=0\)

Repare que a função é contínua pelo menos em \(\R^2 \setminus (0,0)\)

Temos apenas de verificar se também o é em \((0,0)\)

para calcular o limite referido comece por tentar fazer a substituição geral das retas fazendo \(y=mx\) e \(x\to 0\)

se procurar por aqui vai ver esse tipo de limites resolvidos
http://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=1128

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[raimundojr]

Não fiz um ensaio ou tratado da minha dúvida porque trata da própria essência da questão. Então, poderia deixar mais claro a resolução desse exercício em específico? As próximas atividades que forem semelhantes a essa, eu já faço com mais segurança. Obrigado por responder.

[João P. Ferreira]

Não percebo o seu comentário, uma coisa peço que entenda, gostamos de mostrar o caminho, não caminhar por si.

Tem de provar (considerando a solução fornecida) que este limite não existe ou é diferente de \(0\)

\(\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+xy+y^2}\)

pode por exemplo testar a aproximação ao ponto \((x,y)\to (0,0)\) através de todas as retas \(y=mx\)

fazendo uma substituição \(y=mx\)

\(\lim_{x\to 0} \frac{x mx}{x^2+xmx+(mx)^2}=\lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{x^2+mx^2+m^2x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{x^2(1+m+m^2)}\lim_{x\to 0} \frac{m}{1+m+m^2}=\)

\(=\frac{m}{1+m+m^2}\neq 0\)

repare que o limite ao nos aproximarmos do ponto \((0,0)\) através de retas vai depender da inclinação \(m\) da reta, ou seja, não é sempre o mesmo, logo o limite não existe

[raimundojr]

Espero que fique claro agora. Vou dar um exemplo: imagine 10 exercícios semelhantes, nesse caso, basta resolver apenas 1 e os outros podem ser resolvidos por conta própria. É possível caminhar sozinho, desde que sejam fornecidas instruções (considerando um ambiente de aprendizado). É claro que as conjecturas feitas dependem da boa fé e da boa vontade de quem responde.

Editado pela última vez por raimundojr em 14 Oct 2013, 15:18, num total de 2 vezes.

[João P. Ferreira]

Percebo o seu ponto.

Todavia há muita gente que por aqui posta que não se dá ao mínimo trabalho de pensar um pouco, quer apenas que alguém faça os trabalhos por si mesma.

E isso não é pedagógico nem muito menos o propósito deste fórum

Cumprimentos

[raimundojr]

Somente um comentário adicional. Porém, sem dúvida, importante. Fazer citações e referências podem equivaler a ficar apenas olhando/ a olhar, se não forem imbuídas de uma intenção de auxílio. É fato que o ocorrido depende diretamente dos reais princípios (solucionar ou resolver, de fato, a questão) de quem faz as réplicas. Ajudar/auxiliar norteiam esse princípio.

Vou postar a foto em caráter especial:
Definição de Limite de uma Função de Duas Variáveis (pelo menos): http://img713.imageshack.us/img713/8348/n1pj.jpg
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Pág.: 804)

Definição de Continuidade de uma Função de Duas Variáveis (pelo menos): http://img841.imageshack.us/img841/6844/ks0f.jpg
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Pág.: 808)

Anexos

n1pj.jpg (62.64 KiB) Visualizado 5576 vezes

ks0f.jpg (46.38 KiB) Visualizado 5576 vezes

[João P. Ferreira]

Os nosso princípios são sempre o do auxílio, mas um auxílio pedagógico que leve o explicando a saber caminhar por si.

Preferimos dar-lhe as pernas, a caminhar por si.

Repare ainda que estamos um pouco "traumatizados" com algumas situações que são constantes.

Houve um indivíduo - que por exemplo - certo dia colocou 70 questões para resolvermos.
Gostamos sempre de frisar que não somos máquinas de resolução de exercícios, somos gente que gosta de ajudar

obrigado por partilhar as imagens e qq dúvida disponha