Limite - Seno - Função Duas Variáveis

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 16 - Pág.: 810)
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)}\frac{x^2sen^2y}{x^2+2y^2}\)

Resposta para o cálculo do limite: O limite não existe.

Definição de Limite de uma Função de Duas Variáveis (pelo menos): http://img713.imageshack.us/img713/8348/n1pj.jpg
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Pág.: 804)

Como faço para provar esse limite?

Anexos

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[João P. Ferreira]

Esta é difícil, mas vou dar-lhe umas dicas

Considerando que o limite para \((a,b)=(0,0)\) existe e é zero pois fazendo a substituição das retas \(y=mx\)

\(\lim_{x \to 0}\frac{x^2sen^2(mx)}{x^2+2(mx)^2}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2sen^2(mx)}{x^2(1+2m^2)}=\lim_{x \to 0}sen^2(mx)=sen^2(0)=0\)

então, aplicando agora a fórmula fornecida, o limite \(L\) a existir é \(0\)

então

\(|f(x,y)-L|=\left|\frac{x^2sen^2(y)}{x^2+2y^2}-0\right|=\frac{x^2sen^2(y)}{x^2+2y^2}\leq \frac{(x^2+2y^2)sen^2(y)}{x^2+2y^2}=sen^2(y)<|sen (y)|\)

de referir ainda que

\(|y|<\sqrt{x^2+y^2}\)

então a definição pode ser reescrita

\(\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta>0 \ : \ |y|<\delta\ \Rightarrow \ |sen (y)|< \varepsilon\)

PS: já agora, tem a certeza que a função não tem limite????