Provar um limite usando uma definição

[Marcella]

Bom dia!!

Estou com duvida nessa:

Prove que \(\lim_{x \to -1}(3x - 5)=-8\), usando a seguinte definição:

Anexos

1.png (15.5 KiB) Visualizado 2471 vezes

2.png (11.76 KiB) Visualizado 2471 vezes

[Fraol]

Bom dia,

Uma das formas para você mostrar isso é:

\(\left | f(x) - L \right | < \epsilon \Rightarrow \left | 3x-3 - (-8) \right |< \epsilon \Rightarrow \left | 3x+3 \right |< \epsilon \Rightarrow \left 3| x+1 \right |< \epsilon \Rightarrow \left | x+1 \right |< \frac{\epsilon}{3}\).

Agora fazendo \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\), temos:

\(\left | x - b \right | < \delta \Rightarrow \left | x - (-1) \right | < \delta \Rightarrow \left | x + 1 \right | < \delta \Rightarrow \left | x + 1 \right | < \frac{\epsilon}{3} \Rightarrow 3 \left| x + 1 \right | < \epsilon \Rightarrow \left| 3x + 3 \right | < \epsilon \Rightarrow \left| 3x - 5 - (-8) \right | < \epsilon \Rightarrow \left| f(x) - L \right | < \epsilon\).

Ou seja \(\forall \epsilon > 0, \text{ tomemos } \delta = \frac{\epsilon}{3}, \text{ então } \left | 3x-5-(-8) \right | < \epsilon \text{ sempre que } \left | x - (-1) \right | < \delta. \text{ E isso mostra que } \lim_{x\rightarrow -1}3x-5 = -8\).

[Marcella]

Na primeira linha, onde esta 3x - 3 - (-8), porque fica 3x + 3 e nao 3x + 5?

[Fraol]

Oi,

Na primeira linha, onde esta 3x - 3 - (-8), porque fica 3x + 3 e nao 3x + 5?

Você me desculpa, mas eu digitei errado,o correto é: 3x - 5 - (-8) ( igual está no seu texto inicial ).

Daí vem que \(3x - 5 - (-8) = 3x- 5 + 8) = 3x + 3\)

[Fraol]

Olá,

Agora que sobrou um tempinho passei aqui para dar uma ajeitada no texto. Eu usei, entre outros, comando Latex

Código:

\text{ então }

na outra mensagem mas a acentuação dentro do comando bagunçou a visualização - espero que agora esteja melhor. Segue o novo texto:


\(\left | f(x) - L \right | < \epsilon \Rightarrow \left | 3x-3 - (-8) \right |< \epsilon \Rightarrow \left | 3x+3 \right |< \epsilon \Rightarrow 3\left | x+1 \right |< \epsilon \Rightarrow \left | x+1 \right |< \frac{\epsilon}{3}\).

Agora fazendo \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\), temos:

\(\left | x - b \right | < \delta \Rightarrow \left | x - (-1) \right | < \delta \Rightarrow \left | x + 1 \right | < \delta \Rightarrow \left | x + 1 \right | < \frac{\epsilon}{3} \Rightarrow 3 \left| x + 1 \right | < \epsilon \Rightarrow \left| 3x + 3 \right | < \epsilon \Rightarrow \left| 3x - 5 - (-8) \right | < \epsilon \Rightarrow \left| f(x) - L \right | < \epsilon\).

Ou seja \(\forall \epsilon > 0, \text{ tomemos } \delta = \frac{\epsilon}{3}\), então \(\left | 3x-5-(-8) \right | < \epsilon \text{ sempre que } \left | x - (-1) \right | < \delta. \text{ E isso mostra que } \lim_{x\rightarrow -1}3x-5 = -8\).