Função contínua definida por troços
23 Oct 2013, 20:25
valores de M e N
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Re: contínua [resolvida]
23 Oct 2013, 23:46
Boa noite,
Vamos tentar analisar essa questão verificando um ou mais casos.
Para que a função seja contínua ela deve estar definida em todos os pontos do seu domínio e em um determinado ponto, além de estar definida os limites laterais devem existir e ser idênticos ao valor da função naquele ponto.
Assim, aparentemente os pontos chaves para desenvolver a questão são quando \(x=1\) e quando \(x=0\).
Então vamos por aí, vou omitir algumas formalidades, que não afetarão o entendimento:
\(x=1 \Rightarrow mx^3-1 = m-1\)
\(x=1 \Rightarrow x^2-m =1-m\)
Igualando esses resultados parciais teremos: \(m-1 =1-m \Leftrightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m =1\)
Então, até agora sabemos que quando m=1 tanto o primeiro ramo da função (\(mx^3-1\))como o segundo ramo (\(x^2-m\)) tendem a 0 quando x tende a 1. Ou seja a função seria continua em x=1.
Resta tratar o terceiro ramo, \(n-m\), que é o valor da função para quando x = 0. Nesse ponto em especial temos à direita e à esquerda de x=0 o ramo \(mx^3-1\), então se tivermos condições de definir \(n-m = mx^3-1\) para \(x = 0\) e \(m=1\) fechamos a análise da continuidade. Assim seja:
\(n-m = mx^3-1 \Rightarrow n-1 = (1)(0)^3-1 \Leftrightarrow n=0\)
Então para \(m=1\) e \(n=0\) a função dada será contínua.
Vamos tentar analisar essa questão verificando um ou mais casos.
Para que a função seja contínua ela deve estar definida em todos os pontos do seu domínio e em um determinado ponto, além de estar definida os limites laterais devem existir e ser idênticos ao valor da função naquele ponto.
Assim, aparentemente os pontos chaves para desenvolver a questão são quando \(x=1\) e quando \(x=0\).
Então vamos por aí, vou omitir algumas formalidades, que não afetarão o entendimento:
\(x=1 \Rightarrow mx^3-1 = m-1\)
\(x=1 \Rightarrow x^2-m =1-m\)
Igualando esses resultados parciais teremos: \(m-1 =1-m \Leftrightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m =1\)
Então, até agora sabemos que quando m=1 tanto o primeiro ramo da função (\(mx^3-1\))como o segundo ramo (\(x^2-m\)) tendem a 0 quando x tende a 1. Ou seja a função seria continua em x=1.
Resta tratar o terceiro ramo, \(n-m\), que é o valor da função para quando x = 0. Nesse ponto em especial temos à direita e à esquerda de x=0 o ramo \(mx^3-1\), então se tivermos condições de definir \(n-m = mx^3-1\) para \(x = 0\) e \(m=1\) fechamos a análise da continuidade. Assim seja:
\(n-m = mx^3-1 \Rightarrow n-1 = (1)(0)^3-1 \Leftrightarrow n=0\)
Então para \(m=1\) e \(n=0\) a função dada será contínua.