Limites no infinito

[Leandro_mb]

Olá,

não consigo solucionar.
Deve ser algo como tirar da raiz e deixar o x elevado a 1/2.

\(\lim_{x\rightarrow 00}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x-}}}\sqrt{x}\)



Gabarito:1/2

[npl]

Já experimentou multiplicar e dividir pelo conjugado e depois usar a regra de L'Hopital?

[Leandro_mb]

Olá,

É que ainda não tive aulas sobre regra de L'Hopital.
O exercício pede sem o uso dessa regra.

Abraço.

[Sobolev]

Basta multiplicar e dividir pelo conjugado e, de seguida, dividir tudo por \(\sqrt{x}\), isto é,

\(\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}) = &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-x}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3/2}}}}+1} = \frac{1}{2}
\end{align*}\)