PROVE QUE EXISTE LIMITE
29 dez 2013, 17:22
Se:
- Anexos
-
- QUESTÃO 1.JPG (13.01 KiB) Visualizado 1333 vezes
Re: PROVE QUE EXISTE LIMITE
30 dez 2013, 17:30
Trata-se de um exercício bastante técnico*. Vou só dar algumas dicas.
Num dos sentidos (o só se) é relativamente fácil. Basta usar a desigualdade triangular \(|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-\ell|+|f(x)-\ell|\) onde \(\ell=\lim_{x\to a}f(x)\). Os detalhes vou deixar como exercício.
No outro sentido (o se) é mais delicado pois entra nos fundamentos dos nºs reais**. Pode-se usar o pricípio do encaixe para determinar um candidato a limite de \(f\) quando \(x\to a\). Para cada \(n\in \mathbb{N}\) define-se o intervalo fechado \(I_n\) como sendo o menor intervalo fechado que contem a imagem de \(]a-1/n,a+1/n[\) por f. Temos que os intervalos \(I_n,n\in \mathbb{N}\) formam uma cadeia descendente de intervalos fechados logo existe \(\ell\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\). Fica como exercício mostrar que esse \(\ell\) é o limite de f quando \(x\to a\) usando a condição dada.
* muito semelhante a mostrar que uma sucessão converge em R se e só se é uma sucessão de Cauchy
** concretamente no facto dos reais serem um corpo completo.
Num dos sentidos (o só se) é relativamente fácil. Basta usar a desigualdade triangular \(|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-\ell|+|f(x)-\ell|\) onde \(\ell=\lim_{x\to a}f(x)\). Os detalhes vou deixar como exercício.
No outro sentido (o se) é mais delicado pois entra nos fundamentos dos nºs reais**. Pode-se usar o pricípio do encaixe para determinar um candidato a limite de \(f\) quando \(x\to a\). Para cada \(n\in \mathbb{N}\) define-se o intervalo fechado \(I_n\) como sendo o menor intervalo fechado que contem a imagem de \(]a-1/n,a+1/n[\) por f. Temos que os intervalos \(I_n,n\in \mathbb{N}\) formam uma cadeia descendente de intervalos fechados logo existe \(\ell\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\). Fica como exercício mostrar que esse \(\ell\) é o limite de f quando \(x\to a\) usando a condição dada.
* muito semelhante a mostrar que uma sucessão converge em R se e só se é uma sucessão de Cauchy
** concretamente no facto dos reais serem um corpo completo.