Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn)

[hsmofm]

Bom Dia,

Estou com algumas duvidas neste exercício, gostaria que alguém confirmasse se o meu raciocínio está correcto:

Olhando para esta sucessão vejo que se trata de uma sucessão monótona crescente, convergente e limitada:
x1=1

x2= Sqrt(4*1)

x3= Sqrt(4*sqrt(4*1))

Aqui podemos verificar a monotonia crescente da sucessão...

quanto ao limite:

Lim xn = lim xn+1

lim sqrt(4xn) = Infinito.......

Será que estou correcto??

obrigado

[Sobolev]

De facto a sucessão é crescente e limitada, portanto convergente. Quanto ao limite, pode pensar do seguinte modo:

\(x_1 = \mathrm{1}
x_2 = 2 \sqrt{x_1} = \mathrm{2} = 2^1
x_3 = 2\sqrt{x_2} = \mathrm{2} \sqrt{2} = 2^{1+\frac 12}
x_4 = 2 \sqrt{x_3} = 2 \sqrt{2 \sqrt{2}} = 2^{1+\frac 12 +\frac 14}
...\)

Ora, o expoente do 2 corresponde à soma dos termos uma progressão geométrica...

\(\lim x_n = 2^{\sum_{k=0}^{+\infty} (1/2)^k} = 2^2 =4.\)

Outra forma de obter o valor do limite é através do teorema do ponto fixo, que identifica o limite daquela sucessão com uma solução da equação \(x = \sqrt{4 x}\).

[hsmofm]

Peço desculpa mas não consegui perceber como chegou a esse limite...

[Sobolev]

Observando os sucessivos termos x_n, vemos que cada termo pode sempre ser escrito como uma potência de 2, em que o expoente é uma soma de diversas fracções, cada uma delas uma potência de 1/2. Deste modo, o limite da sucessão será 2 elevado à soma

\(1 + \frac 12 + \left(\frac 12\right)^2 + \left(\frac 12\right)^3+\left(\frac 12\right)^4 + \cdots\)

Esta expressão é a soma dos termos que uma progressão geométrica (designa-se série geométrica), que pode ser calculada dando como resultado

\(\frac{1}{1-1/2} = 2.\)

[hsmofm]

Ainda continuo com algumas duvidas em exercícios deste género... Qual o procedimento que devo demonstrar para calcular o Limite de uma Sucessão.

X=1
Xn+1= SQRT(4xn)

Obrigado