Calcular limite

[fff]

Boa tarde, não consigo calcular este limite\(\lim_{x \to0 }\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2+2x}\).
A resposta é 0.
(Não posso aplicar a regra de L'Hôpital)

[Eduardo Fernandes]

[Solução errada, a resposta correcta está abaixo]

Boas fff

Se dividires o numerador e o denominador po \(e^{-x}\) e depois substituires o \(x\) por 0 obténs o valor 0

Cumprimentos,
Eduardo Fernandes

[Sobolev]

\(\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{x^2+2x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)+(e^{-x}-1}{x(x+2)} = \frac 12 \left(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} + \lim_{x \to 0}\frac{e^{-x}-1}{x}\right)\)

Substituindo y=-x no segundo limite teremos

\(\frac 12 \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x} - \lim_{y \to 0}\frac{e^y-1}{y} = \frac 12 -\frac 12 =\mathrm{0}\)

Obs: Eduardo a divisão que propões não resolve o problema, já que persiste uma indeterminação de 0/0.

[Eduardo Fernandes]

Boas Sobolev!

Tens razão, erro meu, esqueci-me e olhar para o denominador.

Obrigado pela correcção

Cumprimentos,
Eduardo Fernandes