Limite de 2 funções (usar limites notáveis)

[ptf]

Boa tarde, tenho de usar os limites notáveis para calcular estes 2 limites:
\(\lim_{x \to 2}\frac{xe^{x-1}-2e}{x-2}\) R:-e
\(\lim_{x \to e}\frac{e-x}{ln(x)-1}\)R:3e

[flaviosouza37]

No primeiro o x esta multiplicando tudo ou só o e^(x-1)?


\(\lim_{x_\to{e}}\frac{e-x}{lnx -1}\)

chamando y=lnx entao \(x=e^y\)
quando x->e ; y->1

\(\lim_{y_\to{1}}\frac{e-e^y}{y -1}=\lim_{y_\to{1}}\frac{e(1-e^{y-1})}{y -1}\)

w=y-1

quando y->1; w->0

\(\lim_{w_\to{0}}\frac{e(1-e^w)}{w}=\lim_{w_\to{0}}-e\frac{e^w-1}{w}=-e\)

[ptf]

No primeiro o x esta multiplicando tudo ou só o e^(x-1)?

Só está a multiplicar o e^(x-1).

[flaviosouza37]

\(\lim_{x_\to{2}}\frac{xe^{x-1}-2e}{(x-2)}=\lim_{x_\to{2}}\frac{e(xe^{(x-2)}-2)}{x-2}\)


w=x-2, quando x->2; w->0

\(\lim_{w_\to{0}}\frac{e((w+2)e^{w}-2)}{w}=lim_{w_\to{0}}\frac{e(we^w+2e^{w}-2)}{w}=\lim_{w_\to{0}}{e(\frac{we^w}{w}+\frac{2(e^{w}-1)}{w})}=\lim_{w_\to{0}}{e\lim_{w_\to{0}}(\frac{we^w}{w}+\frac{2(e^{w}-1)}{w}})=e(1+2)=3e\)