limites notáveis

[ptf]

Boa tarde. Tenho dúvidas em aplicar os limites notáveis neste exercício:
\(\lim_{x \to 1}\frac{x+lnx-1}{x^2-1}\)
R:1

[flaviosouza37]

fiz uma gambiarra mas acho q deu certo.

\(\lim_{x_\to{1}}\frac{x+lnx-1}{x^2-1}=\lim_{x_\to{1}}[\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{lnx}{(x+1)(x-1)}]=\lim_{x_\to{1}}[\frac{1}{(x+1)}+\frac{lnx}{(x+1)(x-1)}]=\lim_{x_\to{1}}\frac{1}{(x+1)}+\lim_{x_\to{1}}\frac{lnx}{(x+1)(x-1)}\)


\(\frac{1}{2}+\lim_{x_\to{1}}\frac{(x+1)^{-1}.lnx}{(x-1)}=\frac{1}{2}+\lim_{x_\to{1}}(x+1)^{-1}\frac{.lnx}{(x-1)}=\frac{1}{2}+\lim_{x_\to{1}}(x+1)^{-1}\lim_{x_\to{1}}\frac{.lnx}{(x-1)}\)


\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{x_\to{1}}\frac{.lnx}{(x-1)}\)

y=x-1; quando x->1 y->0

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{y_\to{0}}\frac{.ln(y+1)}{(y)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)