Quebrando indeterminação com produtos notáveis

[lucassouzati]

Boa tarde galera, podem me ajudar? Racionalizo? Uso artifício?

\(\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{x})(\frac{1}{\sqrt{1 +x}}-1)\)

[Sobolev]

Neste caso basta racionalizar e, já agora, como o termo sqrt(x+1) no denominador não contribui para a indeterminação, pode ser substituído imediatamente.

\(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \cdot \frac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}
= \lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{x+1}}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1-(x+1)}{x(1+\sqrt{x+1})} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{-1}{2}\)

[lucassouzati]

Neste caso basta racionalizar e, já agora, como o termo sqrt(x+1) no denominador não contribui para a indeterminação, pode ser substituído imediatamente.

\(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \cdot \frac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}
= \lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{x+1}}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1-(x+1)}{x(1+\sqrt{x+1})} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{-1}{2}\)

Cara, sua resposta está corretíssima, mas eu achei meio confuso essa racionalização. Veja bem:

\(\lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} * \frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}\)

Como vc saiu disso ai pra isso:

\(\lim_{x\to 0} \frac{1-(x+1)}{1+\sqrt{x+1}}\)

Desde já, muito obrigado.

[Man Utd]

Olá



\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1}{x}*\frac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \;\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \; \lim_{x\to 0} \; \frac{1}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x}\)

[lucassouzati]

Olá



\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1}{x}*\frac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \;\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \; \lim_{x\to 0} \; \frac{1}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x}\)

Pessoal, cada dia a matemática me surpreende mais ainda.

Mas o que aconteceu com o outro fator do produto? Porque ele desapareceu?
Com certeza isso está ligado a alguma propriedades de limites que não peguei direito "/

[Man Utd]

Olá



\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1}{x}*\frac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \;\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \; \lim_{x\to 0} \; \frac{1}{\sqrt{x+1}}\)


\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x}\)

Pessoal, cada dia a matemática me surpreende mais ainda.

Mas o que aconteceu com o outro fator do produto? Porque ele desapareceu?
Com certeza isso está ligado a alguma propriedades de limites que não peguei direito "/

Não é nenhuma propriedade, só apliquei o limite no ponto:

\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \; \lim_{x\to 0} \; \frac{1}{\sqrt{x+1}}\)

\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \; \frac{1}{\sqrt{0+1}}\)

\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \; \times \; 1\)

\(\lim_{x\to 0} \; \frac{1-\sqrt{x+1}}{x} \;\)

[lucassouzati]

Valeu cara

Desculpe a minha dificuldade em entneder as coisas simplificadas rsrs