Limite definição

[Edu_sjc]

Como faço esse execício?

"Prove que existe \(\delta >0\) tal que

\(1-\delta < x < 1+\delta \Rightarrow 2-\frac{1}{3}<x^{2}+x<2+\frac{1}{3}\)

[Walter R]

Boa noite!
O problema pede para achar \(\delta\) tal que \(|x-1|<\delta\Rightarrow |x^2+x-2|< \frac{1}{3}\). Ou seja, \(|x-1|<\delta\Rightarrow |x-1||x+2|<\frac{1}{3}\). Já sabemos que \(|x-1|<\delta\). Precisamos apenas limitar o termo \(|x+2|\). Note que \(|x-1|<\delta\Rightarrow -\delta<x-1<\delta\Rightarrow 3-\delta<x+2<3+\delta\Rightarrow -3-\delta<x+2<3+\delta\Rightarrow |x+2|<3+\delta\). Então \(|x-1||x+2|<\delta(\delta+3)\). Por hipótese do problema, \(\delta(\delta+3)=\frac{1}{3}\). Resolvendo esta equação para a raiz positiva, encontramos \(\delta=\frac{\sqrt{93}-9}{18}\).

Obs.: como o valor de \(\delta\) não é único, outras soluções podem ser encontradas.