Cálculo de limites sem aplicar regra de Hopital

[emsbp]

Boa tarde.
Como determinar o limite de \(\frac{lnx}{e^{x}}\), quando x tende para + infinito, sem recorrer à regra de L' Hopital?
Obrigado!

[João P. Ferreira]

Boas

Podemos fazer pela definição

Se f(x) é uma função real, então o limite de f quando x tende para infinito é L.

Denotamos desta forma:

\(\lim_{x \to \infty}f(x) = L\)
se para todo \(\varepsilon > 0\), então existe S > 0 tal que
\(|f(x) - L| < \varepsilon\) sempre que \(x&nbsp;>&nbsp;S\)

Ou, simbolicamente:

\(\forall \varepsilon >0 \; \exists S >0 \; \forall x \in I \; (x > S \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon)\)


Considerando que \(e^x\) cresce muito mais rapidamente que \(\ln x\) o limite L parece ser \(L=0\)

Então temos que provar o seguinte:
\(\forall \varepsilon >0 \; \exists S >0 \; \forall x \in \R \; (x > S \Rightarrow |\frac{\ln x}{e^x}| < \varepsilon)\)

Ora basta escolher \(S=e^{\varepsilon}\) para provar o que foi referido

Repare que quando \(x=e^{\varepsilon}\) fica-se com

\(\frac{\ln e^{\varepsilon}}{e^{e^{\varepsilon}}} < \varepsilon\)

\(\frac{\varepsilon}{e^{e^{\varepsilon}}} < \varepsilon\)

\(1 < e^{e^{\varepsilon}}\)

o que é certamente válido para \(\varepsilon>0\) ficando assim provado por definição que L=0

Não sei se haveriam outras formas, mas foi desta que me lembrei

Cumprimentos