mostre que f(x) = x³+x é continua em p=2 pela definição

[isabeladcm]

Alguém me ajuda?

mostre que f(x) = x³+x é continua em p=2 pela definição

[albersonmiranda]

O enunciado é só isso mesmo, não há nenhuma restrição? Com p=2 você quer dizer f(2)?

Independente dessas duvidas, você pode verificar que a função será contínua num ponto 'a' se:

1 - existir f(a);

\(f(2)=10\), ok

2 - existir \(\lim_{x \to a}f(x)\);

\(\lim_{x \to 2}x^3+x=8\), ok

3 - \(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)

\(f(2)= x^3+x=10=\lim_{x \to 2}x^3+x\), ok

[isabeladcm]

Então, tem que ser pela definição, por épsilons e deltas, rs

[Fraol]

Bom dia,

Vamos tentar assim:

Dados: \(f(x) = x^3 + x\) e \(p=2\).

Pela definição

\(f(x)\) é contínua em \(x=p=2\) se e somente se para todo \(\epsilon > 0, \exists \delta > 0\) tal que

\(|x-2|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(2)| < \epsilon\).

Dado \(\epsilon > 0\) devemos mostrar que \(|x^3+x - 10| < \epsilon\) desde que \(x\) e \(2\) estejam tão próximos quando se possa.

\(|x^3+x - 10| = |(x-2)(x^2+2x+5)| = |x-2||x^2+2x+5|\)

A função \(x^2+2x+5\), só possui raízes imaginárias mas é positiva nas redondezas de \(2\), em \(x=2\) vale \(13\).

Então, se impusermos \(13|x-2| < \epsilon\) teremos \(|x-2|< \frac{\epsilon}{13}\).

Logo fazendo \(\delta = \frac{\epsilon}{13}\) teremos os ingredientes para formalizar, i.e.:

Para todo \(\epsilon > 0\), tomemos \(\delta = \frac{\epsilon}{13} > 0\). Dessa forma

\(|x-2|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(2)| < \epsilon\).

O que prova que \(f(x)\) é contínua em \(x=p=2\).

Concordam? Discordam? Ou muito pelo contrário?

[albersonmiranda]

Posso nem opinar, não lembro se cheguei a estudar pela definição! Fica o aprendizado, obrigado!