Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
27 abr 2014, 03:41
Boa noite, tenho dúvida em uma certa questão do guidorizzi, provar a existencia de um delta, porém com polinômios, ficaria grato se pudessem me ajudar com essa questão. Me desculpem, é a primeira vez que utilizo o editor de equações, por isso, a questão ficou embaralhada.
Prove que existe \delta < 0 tal que
\(1 - \delta < x < 1 +\delta \Rightarrow 2 - 1/2 < x^5 + 3x / x^2 +1 < 2 + 1/2\)
Prove que existe \delta < 0 tal que
\(1 - \delta < x < 1 +\delta \Rightarrow 2 - 1/2 < x^5 + 3x / x^2 +1 < 2 + 1/2\)
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
03 mai 2014, 01:55
Boa noite,
Supondo que o enunciado seja:
Prove que existe \(\delta\) < 0 tal que \(1 - \delta < x < 1 +\delta \Rightarrow 2 - 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} < 2 + 1/2\),
Essa expressão é o mesmo que \(\left| x - 1 \right|< \delta \Rightarrow \left| \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} -2 \right| < \frac{1}{2}\)
Ou seja, provar que o limite da função \(\frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1}\) é \(2\) quanto x tende a \(1\).
Então fazendo \(\delta = \frac{1}{2}\) você tem a implicação válida.
Supondo que o enunciado seja:
Prove que existe \(\delta\) < 0 tal que \(1 - \delta < x < 1 +\delta \Rightarrow 2 - 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} < 2 + 1/2\),
Essa expressão é o mesmo que \(\left| x - 1 \right|< \delta \Rightarrow \left| \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} -2 \right| < \frac{1}{2}\)
Ou seja, provar que o limite da função \(\frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1}\) é \(2\) quanto x tende a \(1\).
Então fazendo \(\delta = \frac{1}{2}\) você tem a implicação válida.
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
26 ago 2015, 20:29
Como você chegou a esse resultado? Estou tentando entender. Tem como mostrar? Obrigado
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
26 ago 2015, 23:27
Boa noite,
Primeiramente deixa eu corrigir um detalhe:
O correto é: Prove que existe \(\delta \gt 0\) tal que ...
No tocante à resolução, o que fiz foi aplicar a definição de módulo nas expressões com delta e da função. Nesta última eu sbutrai 2 dos 3 membros da expressão.
Se ainda continuar com dúvida, por favor, posta o primeiro ponto que não entendeu e a gente vai discutindo passo a passo.
(essa "prova" é a aplicação da definição de limite).
Primeiramente deixa eu corrigir um detalhe:
Lucas Afonso Escreveu:Prove que existe \delta < 0 tal que
Fraol Escreveu:Prove que existe \(\delta\) < 0 tal que
O correto é: Prove que existe \(\delta \gt 0\) tal que ...
No tocante à resolução, o que fiz foi aplicar a definição de módulo nas expressões com delta e da função. Nesta última eu sbutrai 2 dos 3 membros da expressão.
Se ainda continuar com dúvida, por favor, posta o primeiro ponto que não entendeu e a gente vai discutindo passo a passo.
(essa "prova" é a aplicação da definição de limite).
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
26 ago 2015, 23:41
Pelo que eu estou estudando você teria que igualar ((x^5 + 3x) / x^2 + 1) - 2 à x - 1 né?
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
27 ago 2015, 00:31
Oi, não é igualar.
Nós temos uma função e um valor, o 2. Daí usamos a definição de limite:
\(\lim_{x \rightarrow a}f(x) = L\) se e somente se, para todo \(\epsilon \gt 0, \epsilon \in R\), existe \(\delta \gt 0, \delta in R\) tal que:
\(\left | f(x) - L \right | \lt \epsilon\) quando \(0 \lt \left | x - a \right | \lt \delta\).
Então usando as transformações que fiz nas expressões e comparando com a definição a resposta é direta.
Nós temos uma função e um valor, o 2. Daí usamos a definição de limite:
\(\lim_{x \rightarrow a}f(x) = L\) se e somente se, para todo \(\epsilon \gt 0, \epsilon \in R\), existe \(\delta \gt 0, \delta in R\) tal que:
\(\left | f(x) - L \right | \lt \epsilon\) quando \(0 \lt \left | x - a \right | \lt \delta\).
Então usando as transformações que fiz nas expressões e comparando com a definição a resposta é direta.
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
27 ago 2015, 00:36
Entendi, só queria saber como você fez essas transformações e chegou até delta = 1/2.
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
27 ago 2015, 00:52
Em \(1 - \delta < x < 1 +\delta\) eu subtrai 1 nos três membros:
\(1 - \delta -1 < x -1 < 1 +\delta - 1\) o que dá \(- \delta < x -1 < \delta\) que corresponde a \(\left | x - 1 \right | < \delta\)
Em \(2 - 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} < 2 + 1/2\) eu subtrai 2 nos três membros:
\(2 - 1/2 -2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 < 2 + 1/2 - 2\) o que dá \(- 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 < 1/2\) que corresponde a \(\left | \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 \right |< 1/2\)
\(1 - \delta -1 < x -1 < 1 +\delta - 1\) o que dá \(- \delta < x -1 < \delta\) que corresponde a \(\left | x - 1 \right | < \delta\)
Em \(2 - 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} < 2 + 1/2\) eu subtrai 2 nos três membros:
\(2 - 1/2 -2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 < 2 + 1/2 - 2\) o que dá \(- 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 < 1/2\) que corresponde a \(\left | \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 \right |< 1/2\)
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
27 ago 2015, 01:06
Ah ta mano, valeu pela ajuda!! 
Re: Prove que existe um δ > 0, guidorizzi.
27 ago 2015, 01:11
Tenho outro parecido aqui. Eu já fiz, você poderia fazer ele também pra mim saber se o que eu fiz ta certo?
Prove que existe delta > 0 tal que 1 - delta < x < 1 + delta => 2 -1/3 < x^2+x <2+1/3.
Prove que existe delta > 0 tal que 1 - delta < x < 1 + delta => 2 -1/3 < x^2+x <2+1/3.