Encontre o valor de a que satisfaz a igualdade:
14 mai 2014, 01:58
lim ( (x + a)/(x - a) )^x = 4
x --> infinito
Boa noite galera, estou com dúvida em como iniciar essa questão, ela está na lista de regra de L'Hôpital da UFF... Se eu simplesmente substituir o x por infinito daria infinito^infinito, o que não é uma indeterminada. Como devo proceder nessa questão ?
Grato,
Phelipe.
x --> infinito
Boa noite galera, estou com dúvida em como iniciar essa questão, ela está na lista de regra de L'Hôpital da UFF... Se eu simplesmente substituir o x por infinito daria infinito^infinito, o que não é uma indeterminada. Como devo proceder nessa questão ?
Grato,
Phelipe.
Re: Encontre o valor de a que satisfaz a igualdade: [resolvida]
14 mai 2014, 08:40
O melhor é começar por converter noutro tipo de interminação...
\(\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x = 4 \Leftrightarrow e^{\lim_{x\to +\infty} \quad x \log\frac{x+a}{x-a}} = e^{\log 4} \Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty} \quad x \log\frac{x+a}{x-a} = \log 4\).
Por outro lado,
\(\lim_{x\to +\infty} \quad x \log\frac{x+a}{x-a} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\left(\log \frac{x+a}{x-2}\right)'}{(1/x)'}=\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a}}{-1/x^2}=-\lim_{x\to +\infty}x^2\cdot \frac{(x-a)-(x+a)}{x^2-a^2} = 2a \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2-a^2} = 2a\)
Assim, para que a igualdade inicial seja verificada, é necessário que 2a = log 4, ou seja, que a = (log 4) / 2 = log 2
\(\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x = 4 \Leftrightarrow e^{\lim_{x\to +\infty} \quad x \log\frac{x+a}{x-a}} = e^{\log 4} \Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty} \quad x \log\frac{x+a}{x-a} = \log 4\).
Por outro lado,
\(\lim_{x\to +\infty} \quad x \log\frac{x+a}{x-a} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\left(\log \frac{x+a}{x-2}\right)'}{(1/x)'}=\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a}}{-1/x^2}=-\lim_{x\to +\infty}x^2\cdot \frac{(x-a)-(x+a)}{x^2-a^2} = 2a \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2-a^2} = 2a\)
Assim, para que a igualdade inicial seja verificada, é necessário que 2a = log 4, ou seja, que a = (log 4) / 2 = log 2
Re: Encontre o valor de a que satisfaz a igualdade:
16 mai 2014, 05:32
Aahh entendi! Muito obrigado por tinha minha dúvida! Desculpa se ela pareceu uma dúvida boba, rs. Abraço! 