provar que f está bem definida

[Walter R]

Considere-se o seguinte problema:

" Prove que a função \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n!)^2}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2n}\) está bem definida para todo \(x \in \mathbb R\) e que \(f''+\frac{f'}{x}+f=0\), para todo \(x \neq 0\)".

Para que a função esteja bem definida para todo \(x \in \mathbb R\), é necessário que o raio de convergência da série seja infinito. Tome-se \(y=\frac{x}{2}\). Então \(f(y)=\sum (-1)^n\frac{1}{(n!)^2}y^{2n}=\sum a_my^m\). Para \(m\) ímpar, \(a_m=0\). Para \(m\) par, \(a_m=(-1)^{\frac{m}{2}}\frac{1}{\left [ \left ( \frac{m}{2} \right )! \right ]^2}\), onde \(\lim \sqrt[m]{\left | a_m \right |}=0\). Logo, \(\lim \sup \sqrt[n]{|(-1)^n\frac{1}{(n!)^2}|}=0\) e a série converge para todo \(y \in \mathbb R\) e, consequentemente, para todo \(x \in \mathbb{R}\).

Agora, tem se que \(f'(x)=\sum(-1)^n\frac{1}{(n!)^2}\frac{2n}{x}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2n}=\frac{2n}{x}f\) e

\(f''(x)=-\frac{2n}{x^2}f+\frac{4n^2}{x^2}f\), o que não cumpre \(f''+\frac{f'}{x}+f=0.\). Alguem poderia apontar onde está o erro? Grato.

[Rui Carpentier]

Atenção que a variável n é muda, logo pode passar para fora do somatório. Assim sendo, não é válida as identidades \(f'(x)=\frac{2n}{x}f(x)\) e \(f''(x)=-\frac{2n}{x^2}f(x)+\frac{4n^2}{x^2}f(x)\).

[Sobolev]

O Rui queria dizer (...) não pode passar para fora do somatório (...)

[Rui Carpentier]

Correto Sobolev, esqueci-me do não. Obrigado.

[Sobolev]

Realmente a equação é verificada:

\(f(x)=\sum_{n\ge 0} \frac{(-1)^n}{(n!)^2 2^{2n}} x^{2n} = \sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n-1}}{((n-1)!)^2 2^{2n-2}}\quad x^{2n-2}\)

\(f'(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n n }{(n!)^2 2^{2n-1}} \quad x^{2n-1}\)

\(f''(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n n (2n-1)}{(n!)^2 2^{2n-1}}\quad x^{2n-2}\)

Logo,

\(f'' + f'/x + f = \sum_{n\ge 1} \left[ \frac{(-1)^n}{((n-1)!)^2 2^{2n-2}}\left( \frac{n(2n-1)}{2n^2} + \frac{n}{2n^2} -1\right) x^{2n-2}\right] = 0\)