Encontrar limite usando a definição formal

[Kingflare]

Estableça o limite usando a definição formal de limites, isto é, para qualquer \(\varepsilon > 0\) encontre um \(\delta > 0\) tal que : |f(x)-L| < \varepsilon sempre que 0 <| x -a |< \(\delta > 0\):

\(\lim _{x-5} \frac{2}{x-4} = 2\)

Gabarito: \(\delta = ( 1/2, \varepsilon/14)\)

Alguém pode me explicar como chego a esse resultado ?

[João P. Ferreira]

já resolvemos várias perguntas dessas aqui no fórum, pesquise na secção de limites que tem lá vários casos desses

[Man Utd]

Olá :D


O que devemos provar é que para todo \(\epsilon>0\) existe um \(\delta>0\) correspondente tal que:


\(|x-5|<\delta \;\;\;\;\) tal que \(\left| \frac{2}{x-4}-2 \right|<\epsilon\)


então :


\(\left| \frac{2-2x+8}{x-4} \right|<\epsilon\)


\(\left| \frac{-2x+10}{x-4} \right|<\epsilon\)


\(\left| \frac{-2(x-5) }{x-4} \right|<\epsilon\)


\(\frac{2}{\left|x-4 \right|} \cdot \left|x-5\right|<\epsilon\)



Para um delta correspondente ao epsilon teremos que limitar o \(\delta\) por \(\frac{1}{2}\), então :


\(|x-5|<\delta \;\;\;\) \(\Rightarrow \;\;\; |x-5|<\frac{1}{2}\) \(\;\;\; \Rightarrow \;\;\; \frac{9}{2}<x<\frac{11}{2}\)



A função \(\frac{2}{\left|x-4 \right|}\) no intervalo \(\frac{9}{2}<x<\frac{11}{2}\) é majorada e minorada por:


\(\frac{4}{3}<\frac{2}{|x-4|}<4\)


Então :


\(\frac{2}{\left|x-4 \right|} \cdot \left|x-5\right|< 4\left|x-5\right|<\epsilon\)


\(4\left|x-5\right|<\epsilon\)


\(\left|x-5\right|<\frac{\epsilon}{4}\)



como \(|x-5|<\delta\) e \(\left|x-5\right|<\frac{\epsilon}{4}\) podemos tomar \(\delta=\frac{\epsilon}{4}\) .



Vendo como esse delta funciona :


\(\frac{2}{\left|x-4 \right|} \cdot \left|x-5\right|< 4\delta=4*\left(\frac{\epsilon}{4} \right)=\epsilon\)


Então vemos que funciona, o delta é o menor dos dois valores, então : \(\delta_{min}=\left( \frac{1}{2} \; , \; \frac{\epsilon}{4} \right)\)




PS: Reveja o gabarito.