Cálculo de Limite Função Composta

[Gabriel Moreira]

Seja f definido em R e seja p um número real dado. Suponha que limx->p [f(x)-f(p)]/[x-p] = L. Calcule limh->0 [f(p+h)-f(p-h)]/h.

[santhiago]

Deixe \(x = h+p\) o que implica que \(h = x-p\) . Note que ,

\(\frac{f(p+h) - f(p-h)}{h} = \frac{[f(p+h) - f(p)] - [f(p-h) - f(p)]}{h} = \frac{f(p+h) - f(p)}{h} - \frac{f (p-h) - f(p)}{h} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{x-p} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{(x-2p) +p } = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} + \frac{f (2p -x) - f(p)}{(2p -x) - p }\) .

Quando \(h \to 0\) temos que \(x \to p\) e também \((2p -x) \to p\) ,use a hipótese para concluir .

[Gabriel Moreira]

Deixe \(x = h+p\) o que implica que \(h = x-p\) . Note que ,

\(\frac{f(p+h) - f(p-h)}{h} = \frac{[f(p+h) - f(p)] - [f(p-h) - f(p)]}{h} = \frac{f(p+h) - f(p)}{h} - \frac{f (p-h) - f(p)}{h} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{x-p} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{(x-2p) +p } = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} + \frac{f (2p -x) - f(p)}{(2p -x) - p }\) .

Quando \(h \to 0\) temos que \(x \to p\) e também \((2p -x) \to p\) ,use a hipótese para concluir .

Eu só não entendi a parte em que você coloca o -f(p) e esse f(2p-x) que aparece depois, porque eles aparecem? E a resposta final é 2L.

[santhiago]

Não estou certo se compreendi sua dúvida . Observe que \(-f(p)\) em cada parcela é oriundo de soma-se \(f(p)\) e subtrair-se a mesma quantidade , isto é , adicionei \(f(p) + (-f(p)) = 0\) e na sequência utilizei associatividade e também distributividade de (-1) sobre a soma . Em relação \(2p -x\) , apenas substituir \(h\) por \(x- p\) e com isso \(f(p-h) = f(p-[x-p]) = f(2p-x)\) e também \(x- p = - (p-x) = -(2p -p -x) = -([2p -x] - p)\) .

Novamente quando \(h \to 0\) , \(x \to p\) e \((2p-x) \to p\) .Como por definição

\((f(z) -f(p))/(z-p) \to L\) quando \(z\to p\) . Então

\((f(2x-p) -f(p))/((2x-p)- p) \to L\) e \((f(x) -f(p))/(x-p) \to L\) . Logo ,

o limite requerido vale \(2L\) .