Limites de função por ramos

[emsbp]

Boa tarde.
É dada a função \(f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x}{1-e^{x}}, x> 0 \\ e^{-2x}- e^{x}, x\leq0 \end{matrix}\right.\)
É pedido para determinar a assintota horizontal da função. Ora a minha dificuldade é no cálculo de \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{1-e^{x}}\)
e no cálculo de \(\lim_{x\rightarrow -\infty }(e^{-2x}-e^{x})\). Sei que é necessário a aplicação de limites notáveis. As soluções apresentadas são y=0. No entanto, chego a y=-1.
Peço ajuda. Obrigado!

[josesousa]

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1-e^{x}}\) caso \(\frac{+\infty}{-\infty}\)
Aplicamos a regra de Cauchy e derivamos tanto o numerador como o denominador

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1-e^{x}}= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{-e^{x}} = 0\)
Logo uma das assimptotas horizontais é y=0.

O outro limite é mais simples, se souber que \(e^{-2x}\) tende mais depressa para infinito do que \(e^{-x}\) quando tendemos para menos infinito, portanto o limite é infinito, o que implica que não há neste caso assímptota horizontal