Conjugado de um limite de uma função

[F.Augusto]

Mostre que:


\(\lim_{x->3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^{2}-9} = - \frac{1}{16}\)


Muito Obrigado !!

[João P. Ferreira]

seguindo a sugestão

lembre-se do caso notável \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^{2}-9} = \lim_{x\to 3} \frac{(\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1})(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to 3} \frac{(x+13)-4(x+1)}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to 3} \frac{-3(x+3)}{(x+3)(x-3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=...\)

avance está quase...

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[F.Augusto]

seguindo a sugestão

lembre-se do caso notável \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^{2}-9} = \lim_{x\to 3} \frac{(\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1})(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to 3} \frac{(x+13)-4(x+1)}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to 3} \frac{-3(x+3)}{(x+3)(x-3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=...\)

avance está quase...

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Não consigo avançar! kk

[João P. Ferreira]

havia uma pequena gralha, no denominador fica \((x-3)\)
esta parcela corta com a de baixo

\(\lim_{x\to 3} \frac{-3(x-3)}{(x+3)(x-3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=\lim_{x\to 3} \frac{-3}{(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}=...\)

avance, como não há indeterminação \(\frac{0}{0}\) no limite é tão simples como agora substituir o \(x\) por 3